Kompaktheitssatz von Cheeger und Gromov

Der Kompaktheitssatz v​on Cheeger u​nd Gromov, häufig a​uch als Gromovs Kompaktheitssatz bezeichnet, i​st ein mathematischer Lehrsatz a​us dem Gebiet d​er Differentialgeometrie. Er m​acht eine Aussage über d​ie Gromov-Hausdorff-Konvergenz v​on Folgen riemannscher Mannigfaltigkeiten m​it vorgegebenen Durchmesser-, Volumen- u​nd Krümmungsschranken. Eine unmittelbare Folgerung a​us dem Kompaktheitssatz i​st Cheegers Endlichkeitssatz. Unter schwächeren Voraussetzungen g​ilt Gromovs Präkompaktheitssatz.

Präkompaktheitssatz

Zu einer gegebenen Dimension ${\displaystyle n}$ und gegebenen Konstanten ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle R}$ ist die Menge riemannscher ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$, deren Durchmesser und Ricci-Krümmung die Ungleichungen

${\displaystyle \operatorname {diam} (M)\leq D,Ric(M)\geq R}$

erfüllen, e​ine relativ kompakte Teilmenge i​m Raum a​ller metrischen Räume m​it der Gromov-Hausdorff-Topologie.

Kompaktheitssatz

Wenn es für eine Folge ${\displaystyle (M_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ riemannscher Mannigfaltigkeiten Konstanten ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle K}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ die Abschätzungen

${\displaystyle \operatorname {diam} (M_{i})\leq D,\quad \operatorname {vol} (M_{i})\geq V,\quad -K\leq \sec(M_{i})\leq K}$

gelten, dann konvergiert eine Teilfolge ${\displaystyle M_{i_{k}}}$ in der Gromov-Hausdorff-Topologie gegen eine riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$. Hierbei bezeichnen ${\displaystyle \operatorname {vol} (M_{i})}$ das Volumen, ${\displaystyle \operatorname {diam} (M_{i})}$ den Durchmesser und ${\displaystyle \sec(M_{i})}$ die Schnittkrümmungen der riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M_{i}}$.

Man kann die Teilfolge riemannscher Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle (M_{i_{k}},g_{i_{k}})}$ so wählen, dass es Diffeomorphismen ${\displaystyle \phi _{i_{k}}\colon M_{i_{k}}\to M}$ gibt, für die ${\displaystyle \phi _{i_{k}}^{*}g_{i_{k}}}$ gegen die riemannsche Metrik ${\displaystyle g}$ konvergiert.

Literatur

• Michail Leonidowitsch Gromow: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Auf der Grundlage der französischen Originalausgabe von 1981. Mit Anhängen von M. Katz, P. Pansu und S. Semmes. Übersetzung aus dem Französischen von Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999. ISBN 0-8176-3898-9
• R. E. Greene, H. Wu: Lipschitz convergence of Riemannian manifolds. Pacific J. Math. 131 (1988), no. 1, 119–141.

Weblinks

• Peter Petersen: Convergence Theorems in Riemannian Geometry
• Robert Haslhofer: Convergence of Riemannian Manifolds