Kazhdan-Lusztig-Polynom

Kazhdan-Lusztig-Polynome sind ein Konzept aus der Theorie der Coxeter-Systeme, das (angewandt auf Weyl-Gruppen halbeinfacher Lie-Gruppen) zahlreiche Anwendungen in der Darstellungstheorie hat. Je zwei Elementen ${\displaystyle y,w}$ aus der Coxeter-Gruppe wird ein Polynom ${\displaystyle P_{yw}(q)}$ zugeordnet.

Definition

Sei ${\displaystyle (W,S)}$ ein Coxeter-System mit Längenfunktion ${\displaystyle l}$ und Bruhat-Ordnung ${\displaystyle \leq }$, und sei ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]}$ der Ring der Laurent-Polynome. Die Iwahori-Hecke-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ist eine assoziative ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-Algebra mit Erzeugern ${\displaystyle H_{s},s\in S}$ und gewissen Relationen. Es gibt auf ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ eine eindeutige Involution ${\displaystyle H\to {\overline {H}}}$ mit ${\displaystyle {\overline {v}}=v^{-1}}$ und ${\displaystyle {\overline {H_{s}}}=(H_{s^{-1}})^{-1}}$ für ${\displaystyle s\in S}$.

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass es zu jedem ${\displaystyle x\in W}$ ein eindeutiges, bzgl. der Involution selbstduales ${\displaystyle {\underline {H}}_{x}\in {\mathcal {H}}}$ mit

${\displaystyle {\underline {H}}_{x}\in H_{x}+\sum _{y\in Y}v\mathbb {Z} \left[v\right]H_{y}}$

gibt.[1]

Insbesondere kann man Elemente ${\displaystyle P_{yw}}$ für ${\displaystyle y\leq w}$ als Koeffizienten

${\displaystyle {\underline {H}}_{w}=v^{-l(w)}\sum _{y\leq w}P_{yw}H_{y}}$

definieren. Falls ${\displaystyle y\leq w}$ nicht erfüllt ist, definiert man ${\displaystyle P_{yw}=0}$.

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass die ${\displaystyle P_{yw}}$ Polynome sind. Sie werden heute als Kazhdan-Lusztig-Polynome bezeichnet.

Die ${\displaystyle {\underline {H}}_{w}}$ bilden eine neue Basis der Iwahori-Hecke-Algebra, die als Kazhdan-Lusztig-Basis bezeichnet wird. Die Kazhdan-Lusztig-Polynome beschreiben also die Transformation zwischen den Basen ${\displaystyle H_{y}}$ und ${\displaystyle {\underline {H}}_{w}}$. Kazhdan und Lusztig gaben eine rekursive Prozedur zur Berechnung der Polynome.

Interpretation durch Schnittkohomologie

Sei nun ${\displaystyle W}$ die Weyl-Gruppe einer halbeinfachen Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$.

Eine Fahnenmannigfaltigkeit ${\displaystyle G/B}$ zerlegt sich in verschiedene Schubert-Zellen ${\displaystyle \Omega _{w}}$, die durch die Elemente ${\displaystyle w\in W}$ der Weyl-Gruppe indiziert werden.

Für die Schnittkohomologie von Schubert-Zellen ${\displaystyle \Omega _{v}}$ gilt

${\displaystyle P_{uv}(q)=\sum _{i\geq 0}q^{i}\dim(IH^{2i}({\overline {\Omega _{v}}},\mathbb {C} )_{\Omega _{u}})}$ .

Insbesondere sind die Koeffizienten von ${\displaystyle P_{uv}}$ nichtnegativ.

Literatur

• Kapitel 7 in: James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 29. Cambridge: Cambridge University Press (1992).
• David Kazhdan, George Lusztig: Representations of Coxeter groups and Hecke algebras. Invent. Math. 53, 165–184 (1979).
• D. Kazhdan, G. Lusztig: Schubert varieties and Poincaré duality. Geometry of the Laplace operator, Honolulu/Hawaii 1979, Proc. Symp. Pure Math., Vol. 36, 185–203 (1980).

Weblinks

• Q. Chu: Hecke Algebras and the Kazhdan-Lusztig Polynomials
• W. Soergel: Kazhdan-Lusztig-Polynome und eine Kombinatorik für Kippmoduln

Einzelnachweise

1. Soergel, op. cit., Theorem 2.1