Kazhdan-Lusztig-Polynom

Kazhdan-Lusztig-Polynome sind ein Konzept aus der Theorie der Coxeter-Systeme, das (angewandt auf Weyl-Gruppen halbeinfacher Lie-Gruppen) zahlreiche Anwendungen in der Darstellungstheorie hat. Je zwei Elementen aus der Coxeter-Gruppe wird ein Polynom zugeordnet.

Definition

Sei ein Coxeter-System mit Längenfunktion und Bruhat-Ordnung , und sei der Ring der Laurent-Polynome. Die Iwahori-Hecke-Algebra ist eine assoziative -Algebra mit Erzeugern und gewissen Relationen. Es gibt auf eine eindeutige Involution mit und für .

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass es zu jedem ein eindeutiges, bzgl. der Involution selbstduales mit

gibt.[1]

Insbesondere kann man Elemente für als Koeffizienten

definieren. Falls nicht erfüllt ist, definiert man .

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass die Polynome sind. Sie werden heute als Kazhdan-Lusztig-Polynome bezeichnet.

Die bilden eine neue Basis der Iwahori-Hecke-Algebra, die als Kazhdan-Lusztig-Basis bezeichnet wird. Die Kazhdan-Lusztig-Polynome beschreiben also die Transformation zwischen den Basen und . Kazhdan und Lusztig gaben eine rekursive Prozedur zur Berechnung der Polynome.

Interpretation durch Schnittkohomologie

Sei nun die Weyl-Gruppe einer halbeinfachen Lie-Gruppe .

Eine Fahnenmannigfaltigkeit zerlegt sich in verschiedene Schubert-Zellen , die durch die Elemente der Weyl-Gruppe indiziert werden.

Für die Schnittkohomologie von Schubert-Zellen gilt

.

Insbesondere sind die Koeffizienten von nichtnegativ.

Literatur

  • Kapitel 7 in: James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 29. Cambridge: Cambridge University Press (1992).
  • David Kazhdan, George Lusztig: Representations of Coxeter groups and Hecke algebras. Invent. Math. 53, 165–184 (1979).
  • D. Kazhdan, G. Lusztig: Schubert varieties and Poincaré duality. Geometry of the Laplace operator, Honolulu/Hawaii 1979, Proc. Symp. Pure Math., Vol. 36, 185–203 (1980).

Einzelnachweise

  1. Soergel, op. cit., Theorem 2.1
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