Kanonischer stochastischer Prozess

Ein kanonischer stochastischer Prozess, k​urz kanonischer Prozess, i​st in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie e​ine allgemeine Formulierung e​ines stochastischen Prozesses, d​ie sich d​urch ihre Einfachheit auszeichnet. Dabei werden d​ie Koordinatenabbildungen e​ines großen zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraumes a​ls Zufallsvariablen d​es stochastischen Prozesses aufgefasst. Der zugrundeliegende Messraum w​ird dann a​uch als kanonischer Raum bezeichnet.

Definition

Gegeben sei eine beliebige nichtleere Indexmenge ${\displaystyle I}$ sowie eine nichtleere Grundmenge ${\displaystyle E}$ und eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ auf dieser Grundmenge. Betrachtet man die Projektionen

${\displaystyle \pi _{i}:(E^{I},{\mathcal {E}}^{\otimes I})\to (E,{\mathcal {E}})}$,

die für alle ${\displaystyle i\in I}$ definiert sind durch

${\displaystyle \pi _{i}(\omega )=\omega _{i}}$,

so heißt der stochastische Prozess ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}:=(\pi _{i})_{i\in I}}$ der kanonische Prozess auf ${\displaystyle (E^{I},{\mathcal {E}}^{\otimes I})}$. Der Messraum ${\displaystyle (E^{I},{\mathcal {E}}^{\otimes I})}$ heißt dann auch der kanonische Raum des Prozesses.

Bemerkung

Die Verteilungen der Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ werden durch die Vorgabe eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P}$ auf dem Messraum ${\displaystyle (E^{I},{\mathcal {E}}^{\otimes I})}$ definiert, sie sind dann genau die eindimensionalen Randverteilungen. Hierfür benötigt man unter Umständen Aussagen über die Existenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf abzählbaren oder überabzählbaren Produkten von Mengen wie den Satz von Ionescu-Tulcea oder den Erweiterungssatz von Kolmogorov.

Beispiel

Betrachtet man die Indexmenge ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ sowie als Grundraum ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ versehen mit der Borelschen σ-Algebra, also ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ und ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle {\tilde {P}}}$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ sowie das Produktmaß ${\displaystyle P={\tilde {P}}^{\otimes \mathbb {N} }}$, so besitzen die Projektionen auf die einzelnen Komponenten die Verteilungen ${\displaystyle P_{\pi _{i}}={\tilde {P}}}$. Der kanonische Prozess liefert hier aufgrund der Eigenschaften des Produktmaßes unabhängig identisch ${\displaystyle {\tilde {P}}}$-verteilte Zufallsvariablen.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 281, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 174, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.