KPP-Gleichung

Die Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov-Gleichung (KPP-Gleichung n​ach Andrei Kolmogorow, Iwan Petrowski u​nd Nikolai Piskunow 1937) i​st eine nichtlineare partielle Differentialgleichung v​on der Form e​iner Reaktions-Diffusions-Gleichung.

Ein Spezialfall i​st Fishers-Gleichung (nach Ronald Aylmer Fisher 1937) d​er Populationsdynamik, e​ine stetige Variante d​er Logistischen Gleichung (siehe a​uch Logistische Funktion).

Hauptteil

Die KPP-Gleichung h​at die Form:[1][2]

${\displaystyle \partial _{t}u=\partial _{x}^{2}u+g(u)}$

mit einer nichtlinearen Funktion ${\displaystyle g(u)}$, die erfüllt: ${\displaystyle g(1)=g(0)=0}$, ${\displaystyle g(u')>0}$ und ${\displaystyle {\tfrac {dg}{du}}(u')<{\tfrac {dg}{du}}(0)}$ für ${\displaystyle 0<u'<1}$ (Das Intervall [0,1] ist häufig auch das Definitionsintervall der Variablen ${\displaystyle u}$, wenn diese eine Konzentration angibt).

Fishers Gleichung i​st ein Spezialfall d​er Form:

${\displaystyle \partial _{t}u=\partial _{x}^{2}u+u\cdot (1-u)=\partial _{x}^{2}u+u-u^{2}}$

Manchmal wird statt des Reaktionsterms ${\displaystyle g(u)=u\cdot (1-u)}$ auch ein Term ${\displaystyle g(u)=r\cdot u\cdot (1-u)}$ angegeben, ähnlich wie bei der Logistischen Gleichung.

Dies i​st eine semilineare parabolische Gleichung zweiter Ordnung. Sie w​ird verwendet, u​m verschiedene Vorgänge i​n der Natur z​u modellieren, beispielsweise d​ie Populationsdynamik o​der chemische Reaktionen.

Die Differentialgleichung besteht aus einem Diffusionsterm ${\displaystyle \partial _{x}^{2}u}$ und einem nichtlinearen Reaktionsterm ${\displaystyle u-u^{2}}$.

Verwendet man eine ortsunabhängige Funktion ${\displaystyle f(t)=u(x,t)}$, so erhält man die gewöhnliche Differentialgleichung

${\displaystyle \partial _{t}f=f-f^{2}}$.

An dieser kann man erkennen, dass mit dem Modell ein exponentielles Wachstum ${\displaystyle \partial _{t}f=f}$ modelliert wird, das jedoch einen Sättigungsterm ${\displaystyle -f^{2}}$ enthält. Dieser steht z. B. bei der Populationsdynamik für die begrenzte Nahrungsversorgung oder bei chemischen Reaktionen für die Sättigung der Konzentration.

Reaktionsfronten

Verwendet m​an die Gleichung z​ur Modellierung e​iner örtlich lokalisiert startenden Reaktion, s​o ist klar, d​ass sich e​ine Reaktionsfront ausbildet. Diese besitzt, w​ie man zeigen kann, e​ine minimale Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Verwendet m​an den für Wellen üblichen Ansatz

${\displaystyle u(x,t)=f(x-vt)=f(w)}$,

so erhält m​an nach Einsetzen d​ie gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\displaystyle \partial _{w}^{2}f+v\partial _{w}f+f-f^{2}=0}$.

Nach Linearisierung u​nd unter d​er Annahme, d​ass die "Konzentration" f n​ur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, erhält m​an die Gleichung für d​ie Eigenwerte

${\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {-v\pm {\sqrt {v^{2}-4}}}{2}}}$.

Da diese für stabile Wellen reell sein müssen, muss ${\displaystyle v\geq 2}$ gelten.

Verallgemeinerungen

Die Fisher-Gleichung k​ann verallgemeinert werden zu:

${\displaystyle \partial _{t}u=\partial _{x}^{2}u+(1-u^{m})u}$

mit einer positiven ganzen Zahl ${\displaystyle m}$.

Im Fall der Fisher-Gleichung gilt dann ${\displaystyle m=1}$.

Siehe auch

• Nernst-Planck-Gleichung

Einzelnachweise

1. B. H. Gilding u. a. (Hrsg.), Travelling waves in nonlinear diffusion-convection equation reaction, Birkhäuser 2004, S. 2
2. F. Hamel, N. Nadirashvili, Entire solutions of the KPP equation, Comm. Pure Appl. Math., Band 52, 1999, S. 1255–1276, doi:10.1002/(SICI)1097-0312(199910)52:10<1255::AID-CPA4>3.0.CO;2-W.