Janssen-Gleichung

Mit d​er Janssen-Gleichung (nach H. A. Janssen, 1895)[1] können d​ie Spannungen i​n einem Silo beschrieben werden. Sie beschreibt d​as Kräftegleichgewicht i​n vertikaler Richtung u​nd ist e​in Spezialfall d​er allgemeinen Gleichung d​es hydrostatischen Gleichgewichts u​nter Berücksichtigung d​er Silowand.

Für ein scheibenförmiges Volumelement (Radius r) der Höhe dz, das den gesamten Querschnitt ${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$ des Silos mit Umfang ${\displaystyle U=2\cdot \pi \cdot r}$ überspannt, gilt

${\displaystyle A\cdot \sigma _{v}+\rho _{b}\cdot g\cdot A\cdot dz=A\left(\sigma _{v}+d\sigma _{v}\right)+\tau _{w}\cdot U\cdot dz}$,

wobei

• ${\displaystyle \sigma _{v}}$ die vertikale Spannung
• ${\displaystyle \rho _{\rm {b}}}$ die mittlere Dichte des Schüttgutes
• g die Fallbeschleunigung
• ${\displaystyle \tau _{\rm {w}}}$ die Wandschubspannung
• z die Tiefe ab Oberkante des Schüttgutes bezeichnen.

Die Gewichtskraft ${\displaystyle \rho _{b}\cdot g\cdot A\cdot dz}$ des Schüttgutes in der Scheibe wirkt

• dem Unterschied der Spannungen (Druckgradient) auf der Ober- und Unterseite der Scheibe (die ersten Terme auf beiden Seiten) sowie
• der durch die Silowand ausgeübte Schubkraft ${\displaystyle \tau _{w}\cdot U\cdot dz}$ entgegen.

Die Janssen-Gleichung k​ann in e​ine gewöhnliche Differentialgleichung umgeformt werden:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\Leftrightarrow \rho _{b}\cdot g\cdot A\cdot dz&=A\cdot d\sigma _{v}&&+\tau _{w}\cdot U\cdot dz\\\Leftrightarrow \rho _{b}\cdot g\cdot dz&=d\sigma _{v}&&+\tau _{w}\cdot {\frac {U}{A}}\cdot dz\\\Leftrightarrow d\sigma _{v}&=(\rho _{b}\cdot g&&-\tau _{w}\cdot {\frac {U}{A}})\cdot dz\\\Leftrightarrow {\frac {d\sigma _{v}}{dz}}&=\rho _{b}\cdot g&&-\tau _{w}\cdot {\frac {2}{r}}\end{alignedat}}}$

Die Lösung ${\displaystyle \sigma _{v}(z)}$ der Dgl. kann durch Wahl geeigneter Rand- und Anfangsbedingungen gefunden werden.

Literatur

1. Janssen, H. A.: Versuche über Getreidedruck in Silozellen. In: Z. Ver. Dt. Ing. Band 39, 1895, S. 1045–1049 (duke.edu [PDF] Scan des Artikels (Memento im Webarchive vom 30. Oktober 2011)). Versuche über Getreidedruck in Silozellen (Memento des Originals vom 3. März 2011 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.

Weblinks

• Berechnung von Spannungen in Silos (Janssen-Gleichung)