Hyperbolisierung von Zellkomplexen

In d​er Geometrie i​st die Hyperbolisierung v​on Zellkomplexen o​der Hyperbolisierung v​on Polyedern e​ine Bezeichnung für Verfahren z​ur Konstruktion negativ gekrümmter Räume.

Eine Methode zur Hyperbolisierung von Zellkomplexen wurde von Gromow vorgeschlagen[1] und (für Simplizialkomplexe) von Davis-Januszkiewicz entwickelt.[2] Man nimmt einen negativ gekrümmten Raum ${\displaystyle X}$ über einem Simplex (oder einer allgemeineren Zelle) und klebt Kopien von ${\displaystyle X}$ entlang ihrer Ränder zusammen nach demselben Muster, wie im zugrundeliegenden Simplizialkomplex (oder Zellkomplex) die Simplizes bzw. Zellen zusammengeklebt sind. Damit erhält man einen CAT(0)-Raum, also einen nichtpositiv gekrümmten Raum im Sinne des Dreiecksvergleichs. Charney-Davis[3] verbesserten dies (im Kontext von Würfelkomplexen) dahingehend, dass man stückweise hyperbolische Metriken mit Krümmung nach oben durch ${\displaystyle -1}$ beschränkt (wieder im Sinne des Dreiecksvergleichs) erhält. Diese Räume haben im Allgemeinen Singularitäten, selbst wenn der zugrundeliegende Würfelkomplex eine differenzierbare Mannigfaltigkeit war. Ontaneda[4] zeigt, dass die Singularitäten geglättet werden können und man letztlich riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung zwischen ${\displaystyle -1-\epsilon }$ und ${\displaystyle -1}$ (für beliebig vorgegebenes ${\displaystyle \epsilon >0}$) erhält. Insbesondere erhält man folgenden Satz.

Satz: Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, differenzierbare ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \epsilon >0}$. Dann gibt es eine geschlossene, riemannsche ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle N}$ und eine glatte Abbildung ${\displaystyle f\colon N\to M}$, so dass

• die Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle N}$ Schnittkrümmungen im Intervall ${\displaystyle \left[-1-\epsilon ,-1\right]}$ hat,
• für jeden Ring ${\displaystyle R}$ die induzierte Abbildung ${\displaystyle f_{*}\colon H_{*}(N;R)\to H_{*}(M;R)}$ surjektiv ist,
• ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$-orientierbar ist, falls ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$-orientierbar ist, und in diesem Fall der Abbildungsgrad ${\displaystyle deg(f)=1}$ und die induzierte Abbildung ${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(M;R)\to H^{*}(N;R)}$ injektiv ist,
• die Abbildung ${\displaystyle f^{*}}$ die rationalen Pontrjagin-Klassen von ${\displaystyle M}$ auf die rationalen Pontrjagin-Klassen von ${\displaystyle N}$ abbildet.

Einzelnachweise

1. M. Gromov: Hyperbolic Groups in: Essays in Group Theory, MSRI Publ. 8, Springer, New York (1987)
2. M. Davis, T. Januszkiewicz: Hyperbolization of polyhedra, J. Diff. Geom. 34, 347–388 (1991)
3. R. Charney, M. Davis: Strict Hyperbolization, Topology 34, 329–350 (1995)
4. P. Ontaneda: Riemannian Hyperbolization, Publ. Math. IHES 131, 1–72 (2020)