Hyperbolische Menge

In d​er Theorie d​er dynamischen Systeme bezeichnet m​an eine u​nter einem Fluss invariante Menge a​ls hyperbolische Menge, w​enn der Fluss entlang dieser Menge i​n einigen Richtungen kontrahierend u​nd in anderen Richtungen expandierend wirkt. Dieses Verhalten i​st typisch für chaotische dynamische Systeme.

Definition für diskrete dynamische Systeme

Sei ${\displaystyle f\colon M\to M}$ ein Diffeomorphismus einer kompakten glatten Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle Df\colon TM\to TM}$ sein Differential. Eine ${\displaystyle f}$ -invariante Teilmenge ${\displaystyle \Lambda \subset M}$ ist eine hyperbolische Menge, wenn die Einschränkung ${\displaystyle T_{\Lambda }M:=TM\mid _{\Lambda }}$ des Tangentialbündels auf ${\displaystyle \Lambda }$ sich als Whitney-Summe zweier ${\displaystyle Df}$ -invarianter Unterbündel ${\displaystyle E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{u}}$ zerlegen lässt, so dass (für eine geeignete Riemannsche Metrik) die Einschränkung von ${\displaystyle Df}$ auf ${\displaystyle E^{s}}$ eine Kontraktion und die Einschränkung von ${\displaystyle Df}$ auf ${\displaystyle E^{u}}$ eine Expansion ist. Das heißt,

${\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u},}$

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}}$ and ${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}}$ für alle ${\displaystyle x\in \Lambda }$

und es gibt Konstanten ${\displaystyle 0<\lambda <1,c>0}$ so dass

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$ für alle ${\displaystyle v\in E^{s}}$ und ${\displaystyle n>0}$

und

${\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$ für alle ${\displaystyle v\in E^{u}}$ und ${\displaystyle n>0}$ .

Definition für Flüsse

Sei

${\displaystyle \varphi \colon M\times \mathbb {R} \to M}$

ein Fluss auf einer kompakten glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ . Für ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ bezeichnen wir mit ${\displaystyle \varphi _{t}\colon M\to M}$ die Abbildung

${\displaystyle \varphi _{t}(x)=\varphi (x,t)}$

und mit ${\displaystyle D\varphi _{t}\colon TM\to TM}$ ihr Differential. Den Orbit eines Punktes ${\displaystyle x\in M}$ bezeichnen wir mit

${\displaystyle {\mathcal {O}}(x,\varphi ):=\left\{\varphi (x,t)|t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{\varphi _{t}(x)|t\in \mathbb {R} \right\}}$ .

Eine unter allen ${\displaystyle \varphi _{t}}$ invariante Teilmenge ${\displaystyle \Lambda \subset M}$ ist eine hyperbolische Menge, wenn die Einschränkung ${\displaystyle TM\mid _{\Lambda }}$ des Tangentialbündels auf ${\displaystyle \Lambda }$ sich als Whitney-Summe zweier ${\displaystyle Df}$ -invarianter Unterbündel ${\displaystyle E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{u}}$ und des Tangentialbündels der jeweiligen Orbiten zerlegen lässt, so dass (für eine geeignete Riemannsche Metrik) die Einschränkung von ${\displaystyle Df}$ auf ${\displaystyle E^{s}}$ eine Kontraktion und die Einschränkung von ${\displaystyle Df}$ auf ${\displaystyle E^{u}}$ eine Expansion ist. Das heißt,

${\displaystyle T_{x}M=T_{x}{\mathcal {O}}(x,\varphi )\oplus E_{x}^{s}\oplus E_{x}^{u}}$ für alle ${\displaystyle x\in \Lambda }$ ,

${\displaystyle (D\varphi _{t})_{x}E_{x}^{s}=E_{\varphi _{t}(x)}^{s}}$ and ${\displaystyle (D\varphi _{t})_{x}E_{x}^{u}=E_{\varphi _{t}(x)}^{u}}$ für alle ${\displaystyle x\in \Lambda ,t\in \mathbb {R} }$

und es gibt Konstanten ${\displaystyle 0<\lambda <1,c>0}$ so dass

${\displaystyle \|D\varphi _{t}v\|\leq c\lambda ^{t}\|v\|}$ für alle ${\displaystyle v\in E^{s}}$ und ${\displaystyle t>0}$

und

${\displaystyle \|D\varphi _{-t}v\|\leq c\lambda ^{t}\|v\|}$ für alle ${\displaystyle v\in E^{u}}$ und ${\displaystyle t>0}$ .

Stabile und instabile Bündel, stabile und instabile Mannigfaltigkeiten

Die durch die Definition einer hyperbolischen Menge gegebenen Bündel ${\displaystyle E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{u}}$ heißen stabiles und instabiles Bündel, ihre Integralmannigfaltigkeiten heißen stabile und instabile Mannigfaltigkeiten.

Anosov-Fluss, Anosov-Diffeomorphismus

Falls ${\displaystyle \Lambda =M}$ ist, spricht man von einem Anosov-Fluss bzw. Anosov-Diffeomorphismus. Allgemeiner werden in der Theorie der dynamischen Systeme häufig Axiom A-Flüsse bzw. Axiom A-Diffeomorphismen betrachtet.

Literatur

• Luis Barreira: Ergodic theory, hyperbolic dynamics and dimension theory. Universitext. Springer, Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-28089-4
• Eduard Zehnder: Lectures on dynamical systems. Hamiltonian vector fields and symplectic capacities. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2010. ISBN 978-3-03719-081-4
• Michael Brin, Garrett Stuck: Introduction to dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-80841-3
• Ken Palmer: Shadowing in dynamical systems. Theory and applications. Mathematics and its Applications, 501. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000. ISBN 0-7923-6179-2
• Zbigniew Nitecki: Differentiable dynamics. An introduction to the orbit structure of diffeomorphisms. The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, 1971.
• Dmitri Anosov: Dynamical systems in the 1960s: the hyperbolic revolution. Mathematical events of the twentieth century, 1–17, Springer, Berlin, 2006.