Henkelzerlegung

In d​er Differentialtopologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, i​st die Henkelzerlegung d​ie Grundlage für d​ie Klassifikation u​nd Beschreibung v​on Mannigfaltigkeiten.

Definition: Ankleben eines Henkels

Diese 3-dimensionale Mannigfaltigkeit entsteht durch Ankleben dreier 1-Henkel an einen 0-Henkel.

Notation: ${\displaystyle B^{n}}$ bezeichne die ${\displaystyle n}$-dimensionale Vollkugel, ${\displaystyle S^{n-1}=\partial B^{n}}$ die ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale Sphäre.

Im Folgenden bezeichnen wir als ${\displaystyle k}$-Henkel einer ${\displaystyle m}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit das Produkt

${\displaystyle H_{k}=B^{k}\times B^{m-k}}$

mit d​er durch d​ie Produktstruktur gegebenen Zerlegung

${\displaystyle \partial H_{k}=S^{k-1}\times B^{m-k}\cup B^{k}\times S^{m-k-1}}$.

${\displaystyle B^{k}\times \left\{0\right\}}$ wird als Kern und ${\displaystyle \left\{0\right\}\times B^{m-k}}$ als Kokern des Henkels bezeichnet.

Nun sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle m}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Das Ergebnis des Anklebens eines ${\displaystyle k}$-Henkels ist die Mannigfaltigkeit

${\displaystyle M\cup _{f}H_{k}=\left(M\sqcup (B^{k}\times B^{m-k})\right)/\sim }$

mit der Äquivalenzrelation ${\displaystyle \sim }$ erzeugt durch ${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$ für alle ${\displaystyle (p,x)\in S^{k-1}\times B^{m-k}\subset B^{k}\times B^{m-k}}$,

für eine Einbettung ${\displaystyle f\colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M}$. Durch kanonisches Glätten der Ecken erhält man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.[1] (Insbesondere ist das Ankleben eines ${\displaystyle 0}$-Henkels die disjunkte Vereinigung mit einem ${\displaystyle m}$-Ball ${\displaystyle B^{m}}$).

Die so erhaltene Mannigfaltigkeit ist eindeutig bestimmt durch die Einbettung ${\displaystyle f\colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M}$ oder äquivalent durch eine gerahmte Einbettung ${\displaystyle S^{k-1}\to \partial M}$.

Die Sphäre ${\displaystyle S^{k-1}\times \left\{0\right\}}$ heißt die Anklebesphäre und die Sphäre ${\displaystyle \left\{0\right\}\times S^{m-k-1}}$ heißt die Gürtelsphäre.

Henkelzerlegung

Jede kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit besitzt e​ine Henkelzerlegung.

Der Beweis dieses Satzes benutzt Morse-Theorie. Zu jeder differenzierteren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ gibt es eine Morse-Funktion ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$, deren kritische Punkte unterschiedlichen Funktionswerten entsprechen (und nicht auf dem Rand liegen). Der Satz folgt dann mittels vollständiger Induktion aus folgender lokalen Beschreibung der Umgebung eines kritischen Punktes.

Es sei ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ eine ${\displaystyle C^{\infty }}$-Funktion mit genau einem kritischen Punkt in ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ und keinen weiteren kritischen Punkten in ${\displaystyle f^{-1}(\left[-\epsilon ,\epsilon \right])}$ (für ein geeignetes ${\displaystyle \epsilon >0}$). Dann entsteht ${\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])}$ aus ${\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])}$ durch Ankleben eines ${\displaystyle k}$-Henkels, wobei ${\displaystyle k}$ der Index des kritischen Punktes in ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ist.

Dieser Satz geht auf Stephen Smale zurück, der 1961 einen Beweis skizzierte und die Henkel-Zerlegung dann zum Beweis der Poincaré-Vermutung in Dimensionen ${\displaystyle \geq 5}$ benutzte.[2] John Milnor bewies in seinem Buch "Morse Theory" eine schwächere Version, die besagt, dass ${\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])}$ homotopieäquivalent zu dem aus ${\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])}$ durch Ankleben einer k-Zelle entstehenden Raum ist.[3] Ein vollständiger Beweis wurde 1963 von Palais gegeben.[4] vereinfachte Fassungen finden sich bei Fukui[5] und Madsen-Tornehave[6]

Niedrigdimensionale Beispiele

• Klassifikation der Flächen: Jede geschlossene, orientierbare Fläche besitzt eine Henkelzerlegung aus einem 0-Henkel, ${\displaystyle 2g}$ 1-Henkeln und einem 2-Henkel. Die Zahl ${\displaystyle g}$ ist das Geschlecht der Fläche.
• Heegaard-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten: Ein (3-dimensionaler) Henkelkörper vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ entsteht durch Ankleben von ${\displaystyle g}$ 1-Henkeln an einen 0-Henkel. Als Heegaard-Zerlegung bezeichnet man die Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in zwei Henkelkörper. Jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit besitzt eine Heegaard-Zerlegung, das minimal mögliche ${\displaystyle g}$ wird als Heegaard-Geschlecht bezeichnet. Eine Heegaard-Zerlegung bestimmt eine Henkelzerlegung der 3-Mannigfaltigkeit in einen 0-Henkel, ${\displaystyle g}$ 1-Henkel, ${\displaystyle g}$ 2-Henkel und einen 3-Henkel.
• Kirby-Kalkül: Henkelzerlegungen 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten werden durch Kirby-Diagramme beschrieben.

Relative Henkelzerlegung

Es sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Zerlegung des Randes ${\displaystyle \partial M}$ in (möglicherweise leere) Teilmengen

${\displaystyle \partial M=\partial _{+}M\sqcup \partial _{-}M}$.

Eine Henkelzerlegung von ${\displaystyle M}$ relativ zu ${\displaystyle \partial _{-}M}$ ist eine Darstellung von ${\displaystyle M}$ als durch sukzessives Ankleben von Henkeln an ${\displaystyle \partial _{-}M\times \left[0,1\right]}$ konstruierte Mannigfaltigkeit. Mittels Morse-Theorie kann man zeigen, dass es zu jedem solchen Paar ${\displaystyle (M,\partial _{-}M)}$ eine Henkelzerlegung von ${\displaystyle M}$ relativ zu ${\displaystyle \partial _{-}M}$ gibt.[7]

Cerf-Theorie

Zwei Henkelzerlegungen derselben Mannigfaltigkeit lassen s​ich durch Henkelgleiten (engl.: handle slide) u​nd Hinzufūgen o​der Weglassen zweier komplementärer Henkel (engl.: cancellation) ineinander überführen.

Henkelgleiten

Die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M^{\prime }}$ entstehe aus ${\displaystyle M}$ durch Ankleben eines ${\displaystyle k}$-Henkels mittels der Anklebe-Abbildung ${\displaystyle \phi \colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M}$. Es sei ${\displaystyle h\colon M\times \left[0,1\right]\to M}$ eine Isotopie mit ${\displaystyle h_{0}=id}$ und ${\displaystyle h:=h_{1}}$. Dann ist die durch Ankleben eines ${\displaystyle k}$-Henkels an ${\displaystyle M}$ mittels der Verklebeabbildung ${\displaystyle h\circ \phi }$ konstruierte Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M^{\prime \prime }}$ diffeomorph zu ${\displaystyle M^{\prime }}$.

Insbesondere kann man einen ${\displaystyle k}$-Henkel stets so ankleben, dass seine Anklebesphäre disjunkt von den Gürtelsphären aller ${\displaystyle l}$-Henkel mit ${\displaystyle l\geq k}$ ist. Als Folgerung daraus kann man für jede kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Henkelzerlegung so konstruieren, dass Henkel in aufsteigender Folge ihrer Indizes an eine Menge von ${\displaystyle 0}$-Henkeln angeklebt werden, d. h. für ${\displaystyle l\geq k}$ werden die ${\displaystyle l}$-Henkel nach den ${\displaystyle k}$-Henkeln angeklebt.

Komplementäre Henkel

Ein ${\displaystyle k}$-Henkel und ein ${\displaystyle (k+1)}$-Henkel heißen komplementär, wenn die Anklebesphäre des ${\displaystyle (k+1)}$-Henkels die Gürtelsphäre des ${\displaystyle k}$-Henkels in genau einem Punkt transversal schneidet.

Wenn eine Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M^{\prime }}$ aus einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ durch Ankleben eines ${\displaystyle k}$-Henkels und anschließendes Ankleben eines zu diesem komplementären ${\displaystyle (k+1)}$-Henkels entsteht, dann ist ${\displaystyle M^{\prime }}$ diffeomorph zu ${\displaystyle M}$. Als Folgerung daraus kann man eine Henkel-Zerlegung stets so wählen, dass es genau einen 0-Henkel gibt und weiterhin, falls ${\displaystyle \partial M=\emptyset }$ bzw. ${\displaystyle \partial M\not =\emptyset }$ so dass es genau einen bzw. keinen ${\displaystyle m}$-Henkel mit ${\displaystyle m=dim(M)}$ gibt.

Satz von Cerf

Zwei (relative) Henkelzerlegungen eines Paares ${\displaystyle (M,\partial _{-}M)}$ (mit in aufsteigender Reihenfolge der Indizes angeklebten Henkeln) lassen sich durch eine Folge von Henkel-Gleiten, Hinzufügen/Entfernen eines komplementären Henkelpaares und Isotopien ineinander überführen.[8]

Chirurgien (Sphärische Modifikationen) und Zusammenhang zur Kobordismustheorie

2-Chirurgie der 2-Sphäre

Wenn eine Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M^{\prime }}$ aus ${\displaystyle M}$ durch Ankleben eines ${\displaystyle k}$-Henkels entsteht, dann entsteht die (m-1)-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \partial M^{\prime }}$ aus ${\displaystyle \partial M}$ durch eine ${\displaystyle (k-1)}$-Chirurgie, d. h. durch Ausschneiden der eingebetteten ${\displaystyle S^{k-1}\times D^{m-k}}$ und anschließendes Einkleben von ${\displaystyle D^{k}\times S^{p-k-1}}$ mittels der kanonischen Identifikation

${\displaystyle \partial (D^{k}\times S^{m-k-1})=S^{k-1}\times S^{m-k-1}=\partial (S^{k-1}\times D^{m-k})}$.

(Diese Chirurgien werden i​n der Literatur a​uch als sphärische Modifikationen bezeichnet.)

Sei ${\displaystyle W}$ ein Kobordismus zwischen geschlossenen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M_{0}}$ und ${\displaystyle M_{1}}$, also eine kompakte Mannigfaltigkeit ${\displaystyle W}$ mit ${\displaystyle \partial W=M_{0}\sqcup M_{1}}$. Dann erhält man mit dem Satz von Smale eine Henkelzerlegung von ${\displaystyle W}$ relativ zu ${\displaystyle M_{0}}$ und mithin eine Konstruktion von ${\displaystyle M_{1}}$ aus ${\displaystyle M_{0}}$ durch eine Abfolge von Chirurgien (sphärischen Modifikationen).

Literatur

• Robert E. Gompf, András I. Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus. (= Graduate Studies in Mathematics. 20). American Mathematical Society, Providence, RI 1999, ISBN 0-8218-0994-6.
• Yukio Matsumoto: An introduction to Morse theory. Translated from the 1997 Japanese original by Kiki Hudson and Masahico Saito. (= Translations of Mathematical Monographs. 208. Iwanami Series in Modern Mathematics). American Mathematical Society, Providence, RI 2002, ISBN 0-8218-1022-7.

Weblinks

• Handlebody Decomposition of a Manifold

Einzelnachweise

1. Stephen Smale: On the structure of 5-manifolds. In: Ann. of Math. Band 75, Nr. 2, 1962, S. 38–46.
2. Stephen Smale: Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. In: Ann. of Math. Band 74, Nr. 2, 1961, S. 391–406.
3. J. Milnor: Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. (= Annals of Mathematics Studies. No. 51). Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
4. Richard S. Palais: Morse theory on Hilbert manifolds. In: Topology. 2, 1963, S. 299–340.
5. K. Fukui In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. Band 3, no. 1, paper no. X, 1975, S. 1–4.
6. Ib Madsen, Jørgen Tornehave: From calculus to cohomology. de Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-58059-5 (Appendix C)
7. J. Milnor: Lectures on the h-Cobordism Theorem. notes by L. Siebenmann and J. Sondow. Princeton University Press, 1974.
8. Jean Cerf: La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 39, 1970, S. 5–173.