Heisenberg-Gruppe

Als Heisenberg-Gruppe bezeichnet m​an in d​er Mathematik e​ine bestimmte Gruppe v​on Matrizen s​owie Verallgemeinerungen davon. Jede Heisenberg-Gruppe besitzt e​ine topologische Struktur u​nd ist e​ine Lie-Gruppe.

Die Heisenberg-Gruppe w​urde von Hermann Weyl eingeführt, u​m in d​er Quantenmechanik d​ie Äquivalenz v​on Heisenberg-Bild u​nd Schrödinger-Bild z​u erklären.

Definition

Obere 3×3-Dreiecksmatrizen d​er Form

mit Einträgen , und , die einem (beliebigen) kommutativen Ring entstammen können, bilden eine Gruppe unter der üblichen Matrizenmultiplikation, die so genannte Heisenberg-Gruppe. Die Einträge entstammen dabei oft dem Ring der reellen Zahlen oder dem der ganzen Zahlen.

Eigenschaften

Man kann die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus als zentrale Erweiterung der Gruppe auffassen, was man am besten sieht, wenn man auf durch

eine Gruppenmultiplikation definiert und

beachtet.

Lie-Algebra

Die Lie-Algebra d​er Heisenberg-Gruppe i​st die Heisenberg-Algebra.

Anwendung

In d​er Quantenmechanik h​at die Heisenberg-Gruppe d​ie Funktion e​iner Symmetriegruppe.

Verallgemeinerungen

Es gibt höherdimensionale verallgemeinerte Heisenberg-Gruppen. Als Matrizengruppe besteht die -te Heisenberg-Gruppe aus den quadratischen oberen Dreiecksmatrizen der Größe der Gestalt

wobei ein Zeilenvektor der Länge , ein Spaltenvektor der Länge und die -Einheitsmatrix ist.

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