Heisenberg-Gruppe
Als Heisenberg-Gruppe bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Gruppe von Matrizen sowie Verallgemeinerungen davon. Jede Heisenberg-Gruppe besitzt eine topologische Struktur und ist eine Lie-Gruppe.
Die Heisenberg-Gruppe wurde von Hermann Weyl eingeführt, um in der Quantenmechanik die Äquivalenz von Heisenberg-Bild und Schrödinger-Bild zu erklären.
Definition
Obere 3×3-Dreiecksmatrizen der Form
mit Einträgen , und , die einem (beliebigen) kommutativen Ring entstammen können, bilden eine Gruppe unter der üblichen Matrizenmultiplikation, die so genannte Heisenberg-Gruppe. Die Einträge entstammen dabei oft dem Ring der reellen Zahlen oder dem der ganzen Zahlen.
Eigenschaften
Man kann die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus als zentrale Erweiterung der Gruppe auffassen, was man am besten sieht, wenn man auf durch
eine Gruppenmultiplikation definiert und
beachtet.
Lie-Algebra
Die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe ist die Heisenberg-Algebra.
Anwendung
In der Quantenmechanik hat die Heisenberg-Gruppe die Funktion einer Symmetriegruppe.
Verallgemeinerungen
Es gibt höherdimensionale verallgemeinerte Heisenberg-Gruppen. Als Matrizengruppe besteht die -te Heisenberg-Gruppe aus den quadratischen oberen Dreiecksmatrizen der Größe der Gestalt
wobei ein Zeilenvektor der Länge , ein Spaltenvektor der Länge und die -Einheitsmatrix ist.