Heisenberg-Algebra

Die Heisenberg-Algebra ist eine 3-dimensionale, reelle Lie-Algebra mit den Generatoren P, Q, R, für die gilt

${\displaystyle [P,Q]=R}$

${\displaystyle [P,R]=[Q,R]=0}$

Sie ist die Lie-Algebra der Heisenberggruppe.

Darstellung

Man kann die Heisenberg-Algebra als Algebra von Matrizen darstellen, indem man definiert

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},\quad Q={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}},\quad R={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

und als Lie-Klammer den Kommutator von Matrizen ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ verwendet.

Verallgemeinerung

Entsprechend den verallgemeinerten Heisenberggruppen gibt es auch verallgemeinerte Heisenbergalgebren, die Lie-Algebren der verallgemeinerten Heisenberggruppen.