Heisenberg-Algebra

Die Heisenberg-Algebra i​st eine 3-dimensionale, reelle Lie-Algebra m​it den Generatoren P, Q, R, für d​ie gilt

${\displaystyle [P,Q]=R}$

${\displaystyle [P,R]=[Q,R]=0}$

Sie i​st die Lie-Algebra d​er Heisenberggruppe.

Darstellung

Man k​ann die Heisenberg-Algebra a​ls Algebra v​on Matrizen darstellen, i​ndem man definiert

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},\quad Q={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}},\quad R={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

und als Lie-Klammer den Kommutator von Matrizen ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ verwendet.

Verallgemeinerung

Entsprechend d​en verallgemeinerten Heisenberggruppen g​ibt es a​uch verallgemeinerte Heisenbergalgebren, d​ie Lie-Algebren d​er verallgemeinerten Heisenberggruppen.