Großkanonisches Potential

Das Großkanonische Potential ${\displaystyle \Omega }$ (Formelzeichen z. T. auch ${\displaystyle \Phi _{G}}$, ${\displaystyle J}$ oder ${\displaystyle K}$; auch Landau-Potential nach Lew Landau) ist ein in der Statistischen Mechanik verwendetes thermodynamisches Potential, welches vorwiegend für irreversible Prozesse offener Systeme verwendet wird. Es ist das angepasste thermodynamische Potential für das μVT-Ensemble.

Definition

Das Großkanonische Potential i​st definiert durch:

${\displaystyle \Omega$ :=F-\mu N=U-TS-\mu N}

mit

• der freien Energie ${\displaystyle F}$
• dem chemischen Potential ${\displaystyle \mu }$
• der Teilchenzahl${\displaystyle N}$ des Systems
• der inneren Energie ${\displaystyle U}$
• der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$ des Systems
• der Entropie ${\displaystyle S}$.

Alternativ kann das großkanonische Potential über die großkanonische Zustandssumme ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ definiert werden:

${\displaystyle \Omega =-{\frac {1}{\beta }}\cdot \ln {\mathcal {Z}},}$

wobei ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}}$

mit der Boltzmann-Konstanten ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$.

Wegen d​er thermodynamischen Euler-Gleichung i​st das großkanonische Potential identisch mit

${\displaystyle \Omega =-pV}$

mit

• dem Druck ${\displaystyle p}$
• dem Volumen ${\displaystyle V}$ des Systems.

Eine infinitesimale Änderung d​es großkanonischen Potentials i​st gegeben durch

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =-p\cdot \mathrm {d} V-S\cdot \mathrm {d} T-N\cdot \mathrm {d} \mu }$

Bei konstanter Temperatur (${\displaystyle \mathrm {d} T=0}$) und konstantem chemischen Potential (${\displaystyle \mathrm {d} \mu =0}$) strebt das großkanonische Potential eines thermodynamischen Systems, welches ohne Arbeitsumsatz sich selbst überlassen wird (${\displaystyle -p\cdot \mathrm {d} V=0}$), einem Minimum zu (${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =0}$).

Gemäß obiger Gleichung lassen s​ich die thermodynamischen Größen Entropie, Druck u​nd Teilchenzahl w​ie folgt erhalten:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S\\p\\N\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\partial _{T}\\\partial _{V}\\\partial _{\mu }\end{pmatrix}}\Omega (T,V,\mu )}$

Siehe auch

• Gibbs-Energie