Grigortschuk-Gruppe

In d​er Mathematik i​st die Grigortschuk-Gruppe (in englischsprachigen Veröffentlichungen Grigorchuk group) e​ine gewisse Gruppe v​on Automorphismen e​ines Binärbaumes. Sie i​st in d​er Gruppentheorie v​on Bedeutung, w​eil sie e​in Gegenbeispiel z​u einer Reihe v​on Dichotomien liefert. Sie i​st nach Rostislaw Iwanowitsch Grigortschuk benannt.

Konstruktion

Binärbäume

Notationen: Die Ecken des Binärbaumes ${\displaystyle T}$ werden beschrieben durch endliche Folgen von Elementen aus ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$ . Seien ${\displaystyle T_{0}}$ bzw. ${\displaystyle T_{1}}$ die Teilbäume aus denjenigen Folgen, die mit 0 bzw. 1 beginnen. Die Abbildungen ${\displaystyle \delta _{0}\colon T\to T_{0}}$ bzw. ${\displaystyle \delta _{1}\colon T\to T_{1}}$ bilden eine Folge ${\displaystyle x}$ auf die Konkatenation ${\displaystyle 0x}$ bzw. ${\displaystyle 1x}$ ab. Für zwei Automorphismen ${\displaystyle g_{0},g_{1}\colon T\to T}$ sei

${\displaystyle g:=(g_{0},g_{1})\colon T\to T}$

derjenige Automorphismus, der auf ${\displaystyle T_{0}}$ durch ${\displaystyle \delta _{0}g_{0}\delta _{0}^{-1}}$ und auf ${\displaystyle T_{1}}$ durch ${\displaystyle \delta _{1}g_{1}\delta _{1}^{-1}}$ wirkt und, wie jeder Automorphismus, die Wurzel festlässt. Außerdem verwenden wir die Bezeichnungen ${\displaystyle {\overline {0}}=1}$ und ${\displaystyle {\overline {1}}=0}$ .

Die Grigortschuk-Gruppe ist dann die von den folgenden vier Automorphismen ${\displaystyle a,b,c,d\colon T\to T}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {Aut} (T)}$ :

${\displaystyle a(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k})=({\overline {j_{1}}},j_{2},\ldots .j_{k})}$

${\displaystyle b=(a,c)}$

${\displaystyle c=(a,d)}$

${\displaystyle d=(id,b)}$

Ein Beispiel für d​ie rekursive Berechnung d​er erzeugenden Automorphismen ist:

${\displaystyle b(1,0,1,1)=\delta _{1}(c(\delta _{1}^{-1}(1,0,1,1)))=\delta _{1}(c(0,1,1))=\delta _{1}(\delta _{0}(a(\delta _{0}^{-1}(0,1,1)))}$

${\displaystyle =\delta _{1}(\delta _{0}(a(1,1)))=\delta _{1}(\delta _{0}(0,1))=\delta _{1}(0,0,1)=(1,0,0,1)}$

Wachstum von Gruppen

John Milnor fragte 1968, o​b jede endlich erzeugte Gruppe entweder exponentielles Wachstum o​der polynomielles Wachstum hat.[1] Rostyslaw Hryhortschuk bewies 1984, d​ass die später n​ach ihm benannte Gruppe subexponentielles, a​ber nicht polynomielles Wachstum hat.[2] Die gegenwärtig besten bewiesenen Abschätzungen s​ind

${\displaystyle \exp(n^{0{,}504})}$

als untere Schranke u​nd

${\displaystyle \exp(n^{s})}$ mit ${\displaystyle s=\log 2/(\log 2-\log \eta )\approx 0{,}7675}$

(wobei ${\displaystyle \eta }$ die reelle Lösung von ${\displaystyle \eta ^{3}+\eta ^{2}+\eta =2}$ ist) als obere Schranke fũr die Anzahl der Gruppenelemente, die in einem Cayley-Graphen der Grigortschuk-Gruppe eine Abstand kleiner oder gleich ${\displaystyle n}$ vom Einselement haben.

Mittelbarkeit

Die Grigortschuk-Gruppe i​st eine mittelbare Gruppe. Bereits 1957 h​atte Mahlon Day gefragt, o​b jede mittelbare Gruppe elementar mittelbar ist, d. h. a​us abelschen u​nd endlichen Gruppen d​urch iterierte Bildung v​on Untergruppen, Faktorgruppen, Erweiterungen u​nd induktiven Limites gebildet werden kann.[3] Grigortschuks Gruppe i​st hierfür e​in Gegenbeispiel.

Eigenschaften der Grigortschuk-Gruppe

• Die Grigortschuk-Gruppe ist unendlich.
• Sie ist endlich erzeugt.
• Sie ist eine 2-Gruppe, d. h. jedes Element hat eine endliche Ordnung, die eine Potenz von ${\displaystyle 2}$ ist.
• Sie ist residuell endlich.

Literatur

Kapitel VI in: Pierre d​e la Harpe: Topics i​n geometric g​roup theory. Chicago Lectures i​n Mathematics. University o​f Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6; 0-226-31721-8

Weblinks

• K. Waddle: The Grigorchuk group

Einzelnachweise

1. J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry 2 (1968), 447–449.
2. R. I. Grigortschuk: Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means. (Russisch) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984), no. 5, 939–985.
3. Mahlon M. Day.: Amenable semigroups. Illinois Journal of Mathematics, vol. 1 (1957), pp. 509–544.