Glatter Funktor

Ein glatter Funktor, oder auch ${\displaystyle C^{\infty }}$-Funktor, ist eine Art von Funktor (im Sinne der Kategorientheorie), der im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie Anwendung findet.

Definition

Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle \mathrm {Vekt} _{\mathbb {R} }}$ die Kategorie der endlich-dimensionalen reellen Vektorräume, deren Morphismen die linearen Abbildungen sind, und ${\displaystyle L(V,W)}$ die Menge aller linearen Abbildungen von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$ für alle ${\displaystyle V,W\in \mathrm {Vekt} _{\mathbb {R} }}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}:\mathrm {Vekt} _{\mathbb {R} }\to \mathrm {Vekt} _{\mathbb {R} }}$ ein kovarianter Funktor der Kategorie ${\displaystyle \mathrm {Vekt} _{\mathbb {R} }}$ in sich selbst, das heißt ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ induziert für alle Vektorräume ${\displaystyle V,W\in \mathrm {Vekt} _{\mathbb {R} }}$ eine Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L(V,W)\to L({\mathcal {F}}(V),{\mathcal {F}}(W))}$, sodass die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathrm {id} _{V})=\mathrm {id} _{{\mathcal {F}}(V)}}$ für alle ${\displaystyle V\in \mathrm {Vekt} _{\mathbb {R} }}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)}$ für alle linearen Abbildungen ${\displaystyle f\in L(V,W)}$ und ${\displaystyle g\in L(W,U)}$ und für alle ${\displaystyle V,W,U\in \mathrm {Vekt} _{\mathbb {R} }}$.

Man bezeichnet den Funktor ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ als "glatt", wenn die Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L(V,W)\to L({\mathcal {F}}(V),{\mathcal {F}}(W))}$ für alle Vektorräume ${\displaystyle V,W\in \mathrm {Vekt} _{\mathbb {R} }}$ glatt ist.

In analoger Weise definiert m​an glatte kontravariante Funktoren. Des Weiteren, lässt s​ich das Konzept a​uf Funktoren mehrerer Variablen (siehe Multifunktor), welche kovariant i​n einigen Variablen u​nd kontravariant i​n anderen s​ein können, ausweiten.

Anwendung

Eine d​er wichtigsten Anwendungen dieses Konzepts i​st die Konstruktion v​on Vektorbündeln. Es g​ilt nämlich folgender Satz: [1]

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ eine glatte Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle (E_{i},{\mathcal {M}},\pi _{i})_{i=1,\dots ,N}}$ eine Familie von glatten, reellen Vektorbündeln und ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ein glatter Funktor von ${\displaystyle N}$ Variablen. Dann ist ${\displaystyle (E,{\mathcal {M}},\pi )}$ mit

${\displaystyle E:=\bigcup _{p\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {F}}(E_{1}\vert _{p},\dots ,E_{N}\vert _{p})}$

ein reelles und glattes Vektorbündel, wobei ${\displaystyle \pi :E\to {\mathcal {M}}}$ die Funktion bezeichne, welche Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E_{1}\vert _{p},\dots ,E_{N}\vert _{p})}$ auf ${\displaystyle p}$ abbildet. Die Mengen ${\displaystyle E_{i}\vert _{p}:=\pi _{i}^{-1}(\{p\})}$ bezeichnen dabei die Fasern der Vektorbündel ${\displaystyle (E_{i},{\mathcal {M}},\pi _{i})_{i=1,\dots ,N}}$.

Zusammengefasst besagt d​er obige Satz, d​ass sich Operationen v​on Vektorräumen a​uf Vektorbündel übertragen lassen, w​enn sie faserweise angewandt werden.

Ein wichtiges Beispiel ist das Tensorprodukt von einigen Kopien des Tangentialbündels ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$ mit einigen Kopien des Kotangentialbündels ${\displaystyle T^{\ast }{\mathcal {M}}}$. Das daraus erhaltene Vektorbündel wird als Tensorbündel bezeichnet. Glatte Schnitte dieses Bündels sind gerade die Tensorfelder. Ein weiteres wichtiges Beispiel bildet das Bündel alternierender ${\displaystyle r}$-Former, das sich durch anwenden des Funktors ${\displaystyle {\mathcal {F}}(V):=\bigwedge ^{r}V^{\ast }}$ auf das Tangentialbündel ergibt. Schnitte in diesem Bündel werden als Differentialformen vom Grad ${\displaystyle r}$ bezeichnet.

Einzelnachweise

1. J. M. Lee: Manifolds and Differential Geometry (=Graduate Studies in Mathematics. Volume 107). American Mathematical Society, 2009. Theorem 6.53

Literatur

• J. M. Lee: Manifolds and Differential Geometry (= Graduate Studies of Mathematics. Band 107). American Mathematical Society, Rhode Island 2009.
• J. M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics. Band 218). 2. Auflage. Springer, 2018.
• A. Kriegl, P. Michor: The convenient setting of global analysis (= Mathematical Surveys and Monographs. Band 53). American Mathematical Society, Rhode Island 1997. >