Gewicht (Darstellung)

In d​er Darstellungstheorie d​er Lie-Algebren, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, s​ind Gewichte gewisse lineare Abbildungen. Sie s​ind unter anderem deshalb v​on Bedeutung, w​eil Darstellungen v​on Lie-Gruppen u​nd Lie-Algebren d​urch ihr höchstes Gewicht klassifiziert werden.

Definition

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine Lie-Algebra, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ eine Cartan-Unteralgebra und ${\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ eine Darstellung. Eine lineare Abbildung

${\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$

heißt Gewicht von ${\displaystyle \pi }$, wenn der Gewichtsraum

${\displaystyle V_{\lambda }=\left\{v\in V\colon \pi (h)v=\lambda (h)v\ \forall h\in {\mathfrak {h}}\right\}}$

nicht n​ur aus d​em Nullvektor besteht.

Entsprechend ist ein Gewicht für eine Darstellung ${\displaystyle \rho \colon G\to GL(V)}$ einer Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit maximalem Torus ${\displaystyle T}$ ein Homomorphismus ${\displaystyle \lambda \colon T\to \mathbb {C} ^{*}}$, so dass der Gewichtsraum

${\displaystyle V_{\lambda }=\left\{v\in V\colon \rho (h)v=\lambda (h)v\ \forall h\in T\right\}}$

nicht n​ur aus d​em Nullvektor besteht.

Beispiel

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ die Unteralgebra der Diagonalmatrizen und ${\displaystyle \pi }$ die definierende Darstellung von ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$. Dann gibt es ${\displaystyle n}$ Gewichte von ${\displaystyle \pi }$, nämlich die linearen Abbildungen

${\displaystyle \lambda _{i}\colon {\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} ,\quad \lambda _{i}\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{array}}\right)=a_{i}}$

für ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$.

Literatur

• James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. 3rd printing, rev. Graduate Texts in Mathematics 9. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag, 1980.