Possibilitätstheorie

Die Possibilitätstheorie (engl. possibility, „Möglichkeit“), b​ei Anwendern häufig a​uch Möglichkeitstheorie genannt, i​st eine mathematische Theorie, d​ie von unvollständiger Information herrührende Ungewissheit modelliert. Sie ergänzt gewissermaßen d​ie bekanntere Wahrscheinlichkeitstheorie, d​ie sich m​it durch d​en Zufall hervorgerufener Ungewissheit befasst. Sie unterscheidet s​ich von d​er Wahrscheinlichkeitstheorie d​urch die Benutzung n​icht nur e​iner Mengenfunktion (der Wahrscheinlichkeit), sondern e​ines Paares zueinander dualer Mengenfunktionen: d​er Possibility u​nd der Necessity (engl. necessity, „Notwendigkeit“). Die Possibilität e​ines Ereignisses i​st immer mindestens s​o groß w​ie seine Wahrscheinlichkeit. Umgangssprachlich: Was wahrscheinlich ist, i​st erst r​echt möglich, selbst Unwahrscheinliches i​st möglich.

Historisches

Die Possibilitätstheorie (als mathematische Theorie) g​eht zurück a​uf Lotfi Zadeh (1978).[1] Wesentlich z​ur Popularisierung beigetragen h​aben Didier Dubois u​nd Henri Prade 1988[2]. Vor Zadeh h​aben sich z​um Beispiel bereits d​er Ökonom G.L.S. Shackle 1961[3], u​nd die Philosophen D. Lewis 1973[4] u​nd L.J. Cohen 1977[5] m​it der Formalisierung d​es Begriffes Possibilität befasst.

Possibility

Bezeichne ${\displaystyle {\Omega }}$ das sogenannte Universum, d. h. die Grundmenge, in der alle für das anstehende Problem denkbaren Ereignisse liegen. Zur Vereinfachung sei ${\displaystyle {\Omega }}$ eine endliche Menge. Dann gelten für die Mengenfunktion Possibility, abgekürzt mit ${\displaystyle pos}$, folgende Axiome:

${\displaystyle {\begin{aligned}&pos({\Omega })=1\\&pos({\emptyset )}=0\\&pos(A{\cup }B)={\max }[pos(A),pos(B)],\quad A{\subseteq }{\Omega },B{\subseteq }{\Omega },\quad A{\cap }B={\emptyset }\end{aligned}}}$

Günstig für Berechnungen ergibt sich aus den Axiomen, dass ${\displaystyle pos(A{\cup }B)=\max[pos(A),pos(B)]}$ für beliebige nicht notwendig disjunkte ${\displaystyle A,B{\subseteq }{\Omega }}$ gilt. Weiter ergibt sich, dass man die Possibility eines Ereignisses ${\displaystyle A}$ aus den Possibilities der Elementarereignisse ${\displaystyle {\omega }{\in }{\Omega }}$ berechnen kann gemäß

${\displaystyle pos(A)={\underset {{\omega }{\in }A}{\max }}\ pos[\{{\omega }\}]}$

Die Possibility der Elementarereignisse, als Funktion von ${\displaystyle {\omega }}$ betrachtet, heißt auch Possibilitätsverteilungsfunktion. Sie wird häufig mit ${\displaystyle {\pi }({\omega })}$ bezeichnet, d. h.

${\displaystyle {\pi }({\omega })=pos[\{{\omega }\}]}$

Beispielsweise kann die Zugehörigkeitsfunktion ${\displaystyle m_{A}}$ einer Fuzzymenge ${\displaystyle A}$ als Possibilitätsverteilungsfunktion dienen. Sie beschreibt den Grad der Möglichkeit, dass ${\displaystyle {\omega }{\in }{\Omega }}$ zur Fuzzymenge ${\displaystyle A}$ gehört. Das ist der Zugang von L. Zadeh zur Possibilitätstheorie, siehe[1].

Necessity

Die Necessity ist die zur Possibility duale Mengenfunktion und wird mit ${\displaystyle nec}$ bezeichnet. Sie ergibt sich durch

${\displaystyle nec(A)=1-pos({\overline {A}})}$

wobei ${\displaystyle {\overline {A}}}$ die Komplementärmenge zu ${\displaystyle A}$ ist. Es ist stets ${\displaystyle nec(A){\leqslant }pos(A)}$, also gilt

${\displaystyle pos(A)+pos({\overline {A}}){\geqslant }1,\quad nec(A)+nec({\overline {A}}){\leqslant }1}$,

im Gegensatz zur (selbstdualen) Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P}$, für die ${\displaystyle P(A)+P({\overline {A}})=1}$ gilt.

Possibilitätstheorie als Wahrscheinlichkeitstheorie mit unvollständiger Information

Wenn man zu wenig weiß, um über ${\displaystyle {\Omega }}$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung anzugeben, z. B. wenn man nur die Wahrscheinlichkeiten von einigen Ereignissen aus ${\displaystyle {\Omega }}$ kennt, dann kann man für beliebige Ereignisse aus ${\displaystyle {\Omega }}$ aufgrund der Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten nur untere und obere Schranken für die wahre Wahrscheinlichkeit angeben. Mit diesem Problem befasste sich A.P. Dempster 1967, siehe[6] und kreierte die Begriffe untere Wahrscheinlichkeit und obere Wahrscheinlichkeit. Die Possibility ${\displaystyle pos}$ ist eine obere Wahrscheinlichkeit, die Necessity ${\displaystyle nec}$ eine untere Wahrscheinlichkeit. Außerdem ist die Possibility eine spezielle Plausibilität und die Necessity eine spezielle Belieffunktion im Sinne der Evidenztheorie von Dempster und G. Shafer, siehe[7]. Allgemein sind im Sinne von Dempster Plausibilitäten obere Wahrscheinlichkeiten und Belieffunktionen untere Wahrscheinlichkeiten.

Siehe auch

• Fuzzylogik

Einzelnachweise

1. Zadeh,L.: Fuzzy Sets as the Basis for a Theory of Possibility, Fuzzy Sets and Systems 1 (1978) 3-28. doi:10.1016/S0165-0114(99)80004-9
2. Dubois, D. and Prade, H.: Possibility Theory: An Approach to Computerized Processing of Uncertainty, New York: Plenum Press 1988
3. Shackle, G.L.S.: Decision, Order and Time in Human Affairs, 2nd edition, Cambridge University Press
4. Lewis, D.L.: Counterfactuals, Oxford: Basil Blackwell 1973
5. Cohen, L.J.: The Probable and the Provable, Oxford: Clarendon Press 1977
6. Dempster, A.P.: Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping, Annals of Mathematical Statistics 38 (1967) 325-339
7. Shafer,G.: A Mathematical Theory of Evidence, Princeton, University Press 1976