Frobenius-Methode

Die Frobenius-Methode, n​ach Ferdinand Georg Frobenius, i​st eine Methode u​m Lösungen d​er gewöhnlichen Differentialgleichung

${\displaystyle u''+p(z)u'+q(z)u=0}$

zu finden, wobei ${\displaystyle (z-z_{0})p(z)}$ und ${\displaystyle (z-z_{0})^{2}q(z)}$ als analytisch in einer Umgebung von ${\displaystyle z=z_{0}}$ vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe

${\displaystyle u(z)=(z-z_{0})^{\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(z-z_{0})^{n}}$

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten ${\displaystyle \alpha ,u_{n}}$ durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen[1] und danach von Frobenius verallgemeinert[2].

Satz von Fuchs

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir ${\displaystyle z_{0}=0}$ setzen. Gegeben sei die Differentialgleichung

${\displaystyle u''+p(z)u'+q(z)u=0}$

wobei ${\displaystyle p(z)}$ bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und ${\displaystyle q(z)}$ bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form

${\displaystyle p(z)={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}z^{n},\qquad q(z)={\frac {1}{z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }q_{n}z^{n}}$

geschrieben werden, w​obei die Reihen i​n einer Umgebung v​on 0 konvergieren.

Die charakteristischen Exponenten

${\displaystyle \alpha _{1,2}={\frac {1}{2}}\left(1-p_{0}\pm {\sqrt {(p_{0}-1)^{2}-4q_{0}}}\right)}$

sind d​ie Lösungen d​er charakteristischen Gleichung

${\displaystyle \alpha ^{2}+(p_{0}-1)\alpha +q_{0}=0,}$

welche sich durch Koeffizientenvergleich für ${\displaystyle z^{\alpha -2}}$ in obiger Differentialgleichung ergibt,

und wir können sie gemäß ${\displaystyle \mathrm {Re} (\alpha _{1})\geq \mathrm {Re} (\alpha _{2})}$ ordnen.

Dann g​ilt folgende Fallunterscheidung:

• Ist ${\displaystyle \alpha _{1}-\alpha _{2}}$ keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

${\displaystyle u_{j}(z)=z^{\alpha _{j}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{j,n}z^{n},\qquad u_{j,0}=1,\quad j=1,2.}$

• Ist ${\displaystyle \alpha _{1}-\alpha _{2}}$ eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

${\displaystyle u_{1}(z)=z^{\alpha _{1}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{1,n}z^{n},\qquad u_{2}(z)=z^{\alpha _{2}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{2,n}z^{n}+c\log(z)u_{1}(z),\qquad u_{j,0}=1.}$

Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für ${\displaystyle p(z)}$ und ${\displaystyle q(z)}$.

Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat ${\displaystyle p(z)}$ bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und ${\displaystyle q(z)}$ bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.

Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive ${\displaystyle \infty }$) vom obigen Typ sind, wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet.

Verallgemeinerungen

Der Satz v​on Fuchs k​ann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung u​nd auf Systeme v​on Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

Anwendungen

Mit d​er Methode v​on Frobenius können folgende Differentialgleichungen gelöst werden:

• Bessel'sche Differentialgleichung
• Legendre'sche Differentialgleichung
• Laguerre'sche Differentialgleichung
• hypergeometrische Differentialgleichung

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2.

Referenzen

1. L. Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 66 (1866) S. 121.
2. G. Frobenius: Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 76 (1873), S. 214.