Fortsetzungssatz von Choquet

Der Fortsetzungssatz v​on Choquet i​st ein mathematischer Lehrsatz, d​er angesiedelt i​st im Übergangsfeld zwischen d​em Gebiet d​er Maßtheorie u​nd dem Gebiet d​er Funktionalanalysis u​nd der a​uf den Mathematiker Gustave Choquet zurückgeht. Er zeigt, d​ass für e​inen Hausdorff-Raum e​in von i​nnen reguläres lokal endliches Maß a​uf der zugehörigen borelschen σ-Algebra s​chon unzweideutig festgelegt i​st durch d​ie zugehörige reelle Mengenfunktion a​uf dem Mengensystem d​er kompakten Teilmengen, sofern d​iese Mengenfunktion für s​ich allein s​chon gewissen einfachen (und naheliegenden) Bedingungen genügt. Der choquetsche Fortsetzungssatz i​st eng verknüpft m​it dem Darstellungssatz v​on Riesz-Markov-Kakutani u​nd seine Bedeutung l​iegt nicht zuletzt darin, d​ass der Darstellungssatz a​uf ihn zurückgeführt werden kann.[1][2][3]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich formulieren w​ie folgt:[4][5]

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$, versehen mit der borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ und dem Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X)}$ der kompakten Teilmengen von ${\displaystyle X}$.

Weiter gegeben sei eine Mengenfunktion

${\displaystyle {\mu }_{0}\colon {\mathcal {K}}(X)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}}$ ,

welche den folgenden Bedingungen genügen möge:

(R_1) Für ${\displaystyle K,L\in {\mathcal {K}}(X)}$ mit ${\displaystyle K\subseteq L}$ gilt stets

${\displaystyle {\mu }_{0}(K)\leq {\mu }_{0}(L)}$ .

(R_2) Für ${\displaystyle K,L\in {\mathcal {K}}(X)}$ gilt stets

${\displaystyle {\mu }_{0}(K\cup L)\leq {\mu }_{0}(K)+{\mu }_{0}(L)}$ .

(R_3) Für ${\displaystyle K,L\in {\mathcal {K}}(X)}$ mit ${\displaystyle K\cap L=\emptyset }$ gilt stets

${\displaystyle {\mu }_{0}{(K\cup L)}={\mu }_{0}(K)+{\mu }_{0}(L)}$.

(R_4) Zu ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(X)}$ und ${\displaystyle \epsilon >0}$ gibt es stets eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle K}$ dergestalt, dass für alle ${\displaystyle L\in {\mathcal {K}}(X)}$ mit ${\displaystyle L\subseteq U}$ gilt:

${\displaystyle {\mu }_{0}(L)\leq {\mu }_{0}(K)+\epsilon }$ .

Unter diesen Gegebenheiten kann ${\displaystyle {\mu }_{0}}$ auf genau eine Weise zu einem von innen regulären lokal endlichen Maß

${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {B}}(X)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}\cup \{\infty \}}$

fortgesetzt werden.

Es ist also

${\displaystyle {\mu }_{0}={\mu }|_{{\mathcal {K}}(X)}}$

und dabei hat man für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(X)}$

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{{\mu }_{0}(K):K\in {\mathcal {K}}(X)\;,\;K\subseteq A\}}$ .

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ehrhard Behrends und Jürgen Elstrodt (und ebenso viele andere Autoren) bezeichnen die im choquetschen Fortsetzungssatz genannten Maße ${\displaystyle \mu }$ auf borelschen σ-Algebren von Hausdorff-Räumen als Radon-Maße.[6][7]
• Der Fortsetzungssatz beinhaltet also die Aussage, dass für einen Hausdorff-Raum die Radon-Maße und die auf dem System der kompakten Teilmengen definierten, den Bedingungen (R_1), (R_2), (R_3), (R_4) genügenden Mengenfunktionen einander umkehrbar eindeutig entsprechen.
• In seiner Darstellung des Fortsetzungssatzes zeigt Elstrodt – anschließend an die 1968er Arbeit On the generation of tight measures des polnischen Mathematikers Jan Kisyński – dass man an die Stelle der Bedingung (R_4) die sogenannte Straffheitsbedingung (S) setzen kann, welche folgendes besagt:[8]

(S) Für ${\displaystyle K,L\in {\mathcal {K}}(X)}$ mit ${\displaystyle K\subseteq L}$ gilt stets

${\displaystyle {\mu }_{0}(L)-{\mu }_{0}(K)=\sup\{{\mu }_{0}(C):C\in {\mathcal {K}}(X)\;,\;C\subseteq {L\setminus K}\}}$ .

• Wie Elstrodt anmerkt, gibt es in der Fachliteratur verschiedene Varianten des Fortsetzungssatzes. Die hierzu entstandene rege Forschungstätigkeit hat gezeigt, dass die Straffheitsbedingung hinsichtlich der Fortsetzbarkeitsfrage von wesentlicher Bedeutung ist.[7]

Quellen und Hintergrundliteratur

• Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo 1987, ISBN 3-540-17850-3 (MR1028059).
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, doi:10.1007/978-3-642-17905-1.
• J. Kisyński: On the generation of tight measures. In: Studia Mathematica. Band 30, 1968, S. 141–151 ().
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

Einzelnachweise

1. Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie. 1987, S. 205 ff
2. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 328 ff
3. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2007, S. 89–90
4. Behrends, op. cit., S. 206–207
5. Elstrodt, op. cit., S. 331–332
6. Behrends, op. cit., S. 196
7. Elstrodt, op. cit., S. 313
8. Elstrodt, op. cit., S. 331 ff