Formale Ableitung

Die formale Ableitung i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Algebra. Durch s​ie wird d​er Ableitungsbegriff a​us der Analysis für Funktionen a​uf Polynome übertragen.

Da über e​inem Ring k​eine Zahl "zwischen" z​wei Zahlen existiert, e​s also keinen Grenzwertbegriff gibt, k​ann der Differenzenquotient n​icht sinnvoll definiert werden u​nd somit existiert k​eine Ableitung i​m eigentlichen Sinne. Um d​as Konzept d​er Ableitung trotzdem nutzen z​u können, w​ird diese für Polynome formal s​o definiert, d​ass die Faktorregel u​nd die Potenzregel erfüllt sind.

Definition

Sei ${\displaystyle R}$ ein Ring und ${\displaystyle R[X]}$ bezeichne den Polynomring über ${\displaystyle R}$ in einer Unbestimmten ${\displaystyle X}$. Für ein Polynom

${\displaystyle f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in R[X]}$

ist die formale Ableitung ${\displaystyle f'\in R[X]}$ definiert als

${\displaystyle f'=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}X^{i-1}}$.

Eigenschaften

• Für die formale Ableitung gelten die bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung. Insbesondere gilt

${\displaystyle (af+bg)'=af'+bg'}$ sowie

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$

für alle ${\displaystyle f,g\in R[X]}$ und alle ${\displaystyle a,b\in R}$. Das heißt, die Abbildung

${\displaystyle D\colon R[X]\to R[X],\quad f\mapsto f'}$

ist eine Derivation von ${\displaystyle R[X]}$.

• Liegt ${\displaystyle f}$ in Linearfaktoren vor, das heißt ${\displaystyle \textstyle f=\prod _{i=1}^{n}(X-r_{i})}$, wobei ${\displaystyle r_{i}\in R}$ die Nullstellen von ${\displaystyle f}$ sind, so gilt für die Ableitung

${\displaystyle f'=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1 \atop j\neq i}^{n}(X-r_{j})}$.

Anwendung

Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, so ist ${\displaystyle K[X]}$ ein euklidischer Ring (insbesondere faktoriell), wobei ${\displaystyle \deg(f)=\max\{i\ |\ a_{i}\neq 0\}}$ als euklidische Norm dient, wenn ${\displaystyle a_{i}}$ die Koeffizienten von ${\displaystyle f}$ bezeichnet. Die Nullstellen des ggT von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f'}$ sind gerade die Mehrfachnullstellen von ${\displaystyle f}$ mit einer um 1 erniedrigten Ordnung, wie folgende Rechnung zeigt:

Sei ${\displaystyle r\in K}$ eine Mehrfachnullstelle von ${\displaystyle f\in K[X]}$, dann gilt ${\displaystyle f=(X-r)((X-r)^{m}g)}$ mit einem Polynom ${\displaystyle g\in K[X]\setminus \{0\}}$ und einem ${\displaystyle m\geq 1}$. Es folgt ${\displaystyle f'=(X-r)^{m}g+(X-r)((X-r)^{m}g)'}$, also ${\displaystyle f'(r)=0}$.

Literatur

• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 275 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 253 ff