Form (Algebra)

Die Form i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Algebra. Formen s​ind besondere homogene Polynome.

Definition

Eine Form i​st ein Polynom i​n mehreren Variablen, b​ei dem j​eder Summand d​en gleichen Grad hat.

Beispiele und Spezialfälle

• Das Polynom ${\displaystyle X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+XY^{2}+XYZ}$ von Grad drei in drei Variablen ist eine Form.
• Ein Polynom in einer Variablen vom Grad eins nennt man Linearform, da diese Polynome als lineare Abbildungen aufgefasst werden können.
• Ein Polynom in zwei Variablen vom Grad eins nennt man Bilinearform. Eine Sesquilinearform, die der Bilinearform sehr ähnlich ist, kann jedoch nicht als Form im Sinne des Artikels verstanden werden.
• Ein Polynom in ${\displaystyle n}$ Variablen vom Grad eins nennt man Multilinearform. Eine besondere Klasse der Multilinearformen sind die Elemente der äußeren Algebra. Diese werden in der Differentialgeometrie zu Differentialformen verallgemeinert.
• Ein Polynom in ${\displaystyle n}$ Variablen vom Grad zwei heißt Quadratische Form. Eine besondere Klasse der quadratischen Formen sind die binären quadratischen Formen. Das sind die Polynome vom Grad zwei in zwei Variablen.

Literatur

• Form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).