Satz von Cartan-Ambrose-Hicks

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Cartan-Ambrose-Hicks e​in Lehrsatz d​er Riemannschen Geometrie, d​em zufolge Riemannsche Metriken l​okal bereits d​urch den Riemannschen Krümmungstensor eindeutig festgelegt sind.

Der Satz i​st nach Élie Cartan benannt, d​er die lokale Version bewies, u​nd Warren Ambrose u​nd dessen Doktoranden Noel Hicks.[1] Ambrose bewies 1956 e​ine globale Version.[2]

Vorbereitungen

Seien ${\displaystyle M,N}$ zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten, ${\displaystyle x\in M,y\in N}$ und

${\displaystyle I:T_{x}M\rightarrow T_{y}N}$

eine lineare Isometrie. Für hinreichend kleine ${\displaystyle r>0}$ sind die Exponentialabbildungen

${\displaystyle \exp _{x}:B_{r}(x)\subset T_{x}M\rightarrow M,\exp _{y}:B_{r}(y)\subset T_{y}N\rightarrow N}$

lokale Diffeomorphismen. Man definiert dann eine differenzierbare Abbildung ${\displaystyle f:B_{r}(x)\rightarrow B_{r}(y)}$ durch

${\displaystyle f=\exp _{y}\circ I\circ \exp _{x}^{-1}}$.

Für eine Geodäte ${\displaystyle \gamma$ :\left[0,T\right]\rightarrow B_{r}(x)\subset M} mit ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ sei ${\displaystyle P_{\gamma }}$ der (mittels des Levi-Civita-Zusammenhanges definierte) Paralleltransport entlang ${\displaystyle \gamma }$. Wir definieren dann

${\displaystyle I_{\gamma }=P_{f(\gamma )}\circ I\circ P_{\gamma }^{-1}:T_{\gamma (t)}M\rightarrow T_{f(\gamma (t))}N}$

für ${\displaystyle t\in \left[0,T\right]}$.

Satz von Cartan

Der ursprüngliche Satz von Cartan ist die lokale Version des Satzes von Cartan-Ambrose-Hicks. Er besagt, dass ${\displaystyle f}$ genau dann eine (lokale) Isometrie ist, wenn für alle Geodäten ${\displaystyle \gamma$ :\left[0,T\right]\rightarrow B_{r}(x)\subset M} mit ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ und alle ${\displaystyle X,Y,Z\in T_{\gamma (T)}M}$ gilt:

${\displaystyle I_{\gamma }(R_{XY}Z)={\overline {R}}_{I_{\gamma }XI_{\gamma }Y}(I_{\gamma }Z)}$,

wobei ${\displaystyle R,{\overline {R}}}$ die Riemannschen Krümmungstensoren von ${\displaystyle M,N}$ sind.

Man beachte, dass ${\displaystyle f}$ im Allgemeinen kein Diffeomorphismus, sondern nur eine lokal-isometrische Überlagerung sein muss. Jedoch muss ${\displaystyle f}$ eine globale Isometrie sein, wenn ${\displaystyle N}$ einfach zusammenhängend ist.

Satz von Cartan-Ambrose-Hicks

Seien ${\displaystyle M,N}$ zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten, ${\displaystyle M}$ einfach zusammenhängend. Seien ${\displaystyle x\in M,y\in N}$ und

${\displaystyle I:T_{x}M\rightarrow T_{y}N}$

eine lineare Isometrie. Für die Riemannschen Krümmungstensoren ${\displaystyle R,{\overline {R}}}$ und alle in ${\displaystyle x}$ beginnenden gebrochenen Geodäten ${\displaystyle \gamma$ :\left[0,T\right]\rightarrow M} gelte

${\displaystyle I_{\gamma }(R_{XY}Z)={\overline {R}}_{I_{\gamma }XI_{\gamma }Y}(I_{\gamma }Z)}$

für alle ${\displaystyle X,Y,Z\in T_{\gamma (T)}M}$.

Dann gilt: wenn zwei in ${\displaystyle x}$ beginnende gebrochene Geodäten denselben Endpunkt haben, dann gilt das auch für die (unter ${\displaystyle I_{\gamma }}$) entsprechenden gebrochenen Geodäten in ${\displaystyle N}$. Man kann also eine Abbildung

${\displaystyle F:M\rightarrow N}$

definieren, indem man Endpunkte gebrochener Geodäten auf die Endpunkte der entsprechenden Geodäten in ${\displaystyle N}$ abbildet.

Die Abbildung ${\displaystyle F:M\rightarrow N}$ ist eine lokal-isometrische Überlagerung.

Falls ${\displaystyle N}$ ebenfalls einfach zusammenhängend ist, dann ist ${\displaystyle F}$ eine Isometrie.

Lokal symmetrische Räume

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt lokal symmetrisch, f​alls der Riemannsche Krümmungstensor parallel ist:

${\displaystyle \nabla R=0}$.

Eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit i​st genau d​ann lokal symmetrisch, w​enn sie e​in Symmetrischer Raum ist.

Aus d​em Satz v​on Cartan-Ambrose-Hicks ergibt sich:

Satz: Seien ${\displaystyle M,N}$ zusammenhängende, vollständige, lokal symmetrische Riemannsche Mannigfaltigkeiten, ${\displaystyle M}$ einfach zusammenhängend. Seien ${\displaystyle x\in M,y\in N}$ und

${\displaystyle I:T_{x}M\rightarrow T_{y}N}$

eine lineare Isometrie mit

${\displaystyle I(R_{XY}Z)={\overline {R}}_{I(X)I(Y)}I(Z)}$

für die Riemannschen Krümmungstensoren ${\displaystyle R,{\overline {R}}}$. Dann gibt es eine lokal isometrische Überlagerung

${\displaystyle F:M\rightarrow N}$

mit ${\displaystyle F(x)=y}$ und ${\displaystyle D_{x}F=I}$.

Als Korollar folgt, dass jeder vollständige lokalsymmetrische Raum von der Form ${\displaystyle \Gamma \backslash M}$ für einen symmetrischen Raum ${\displaystyle M}$ und eine diskrete Gruppe von Isometrien ${\displaystyle \Gamma \subset Isom(M)}$ ist.

Raumformen

Als Anwendung des Satzes von Cartan-Ambrose-Hicks ist insbesondere jede einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung ${\displaystyle \in \left\{+1,0,-1\right\}}$ isometrisch zur Standard-Sphäre ${\displaystyle S^{n}}$ bzw. dem euklidischen Raum ${\displaystyle E^{n}}$ bzw. dem hyperbolischen Raum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$.

Weiterhin gilt:

• jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung ${\displaystyle +1}$ ist von der Form ${\displaystyle \Gamma \backslash S^{n}}$ für eine endliche Gruppe von Isometrien ${\displaystyle \Gamma \subset Isom(S^{n})}$,
• jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung ${\displaystyle 0}$ ist von der Form ${\displaystyle \Gamma \backslash E^{n}}$ für eine Bieberbachgruppe ${\displaystyle \Gamma \subset Isom(E^{n})}$,
• jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung ${\displaystyle -1}$ ist von der Form ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{n}}$ für eine diskrete Gruppe von Isometrien ${\displaystyle \Gamma \subset Isom(\mathbb {H} ^{n})}$.

Literatur

• Jeff Cheeger, David Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4417-5
• Joseph A. Wolf: Spaces of constant curvature. Sixth edition. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2011. ISBN 978-0-8218-5282-8
• Fangyang Zheng: Complex differential geometry. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 18. American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Boston, MA, 2000. ISBN 0-8218-2163-6

Einzelnachweise

1. Mathematics Genealogy Project, Eintrag zu N. Hicks
2. W. Ambrose: Parallel translation of Riemannian curvature, Annals of Mathematics (2) 64 (1956), 337–363