Feldstärketensor

Ein Feldstärketensor beschreibt d​ie Felder i​n Eichtheorien. Das bekannteste Beispiel i​st der elektromagnetische Feldstärketensor für d​ie Eichtheorie d​er Elektrodynamik, d​er das elektrische u​nd magnetische Feld beschreibt. Feldstärketensoren werden v​or allem i​n Quantenfeldtheorien angewendet.

Dabei i​st der Feldstärketensor kein Tensor i​m eigentlichen mathematischen Sinne, d​a seine Komponenten k​eine reellen Zahlen sind, sondern Elemente d​er zur Eichgruppe zugehörigen Lie-Algebra.

Allgemein

Wird in einer Eichtheorie die kovariante Ableitung eines Feldes ${\displaystyle \psi }$ definiert als

${\displaystyle D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }+A_{\mu })\psi }$,

wobei

• ${\displaystyle A_{\mu }}$ ein Matrixpotential der Form ${\displaystyle A_{\mu }=-it^{a}A_{\mu }^{a}}$ ist mit
  • hermiteschen Matrizen ${\displaystyle t^{a}}$ und
  • reellen Funktionen ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ der Raumzeit,

so ergibt s​ich der Feldstärketensor dieser Theorie zu

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mu \nu }&=D_{\mu }A_{\nu }-D_{\nu }A_{\mu }\\&=-it^{a}(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}),\end{aligned}}}$

wobei die reellen Zahlen ${\displaystyle f^{abc}}$ aus dem Kommutator ${\displaystyle [t^{a},t^{b}]=if^{abc}t^{c}}$ stammen.

Die Lagrangedichte ${\displaystyle L}$ für das ${\displaystyle A_{\mu }}$-Feld kann dann gewählt werden als ${\displaystyle L\propto F_{\mu \nu }^{a}F^{a\mu \nu }}$, dies ist die Yang-Mills-Lagrangedichte.

Elektromagnetismus

Für die Quantenelektrodynamik entspricht ${\displaystyle A_{\mu }}$ dem bekannten Vektorpotential. Da dessen Komponenten vertauschen, vereinfacht sich der Feldstärketensor zur Form

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

Zu dessen weiteren Eigenschaften s​iehe Elektromagnetischer Feldstärketensor.

Literatur

• V. Parameswaran Nair: Quantum Field Theory - A Modern Perspective, Springer 2005 - Kapitel 10.1