Fahnensatz

Der Fahnensatz o​der auch Trigonalisierungssatz i​st ein Lehrsatz d​er Linearen Algebra, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik. Er ergibt s​ich im Zusammenhang m​it der Behandlung d​es sogenannten Normalformenproblems, b​ei dem d​ie Möglichkeit d​er Normalformendarstellungen v​on Vektorraumendomorphismen d​urch spezielle Matrizen untersucht wird. In diesen Themenkreis gehören a​uch die Lehrsätze über d​ie Jordansche Normalform.

Formulierung des Satzes

Der Lehrsatz lässt s​ich wie f​olgt formulieren:[1][2][3][4][5]

Für einen Vektorraumendomorphismus ${\displaystyle \phi \colon V\to V}$ auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

(i) Zu ${\displaystyle \phi }$ existiert in ${\displaystyle V}$ eine Fahne ${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n}=V}$   (${\displaystyle n=dim(V)}$), welche ${\displaystyle \phi }$-stabil[6] ist in dem Sinne, dass jeder der in dieser Fahne vorkommenden Untervektorräume von ${\displaystyle \phi }$ in sich selbst abgebildet wird:

${\displaystyle \phi (V_{i})\subseteq V_{i}}$   (${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$)

(ii) Das charakteristische Polynom ${\displaystyle \chi _{\varphi }}$ von ${\displaystyle \phi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

(iii) Das Minimalpolynom ${\displaystyle \mu _{\varphi }}$ von ${\displaystyle \phi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

(iv) ${\displaystyle \phi }$ ist trigonalisierbar.[7]

Folgerung

Aus d​em Fahnensatz (und u​nter Berücksichtigung d​es Fundamentalsatzes d​er Algebra) ergibt s​ich das folgende Korollar:[3][8]

In einem endlich-dimensionalen Vektorraum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper (und insbesondere über dem Körper der komplexen Zahlen!) ist jeder Endomorphismus trigonalisierbar.

Verwandter Satz

Mit dem Fahnensatz eng verwandt ist das folgende Resultat, welches ein Kriterium für die Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus ${\displaystyle \phi \colon V\to V}$ des endlich-dimensionalen Vektorraums ${\displaystyle V}$ angibt und folgendes besagt:[9]

${\displaystyle \phi }$ ist dann und nur dann diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom ${\displaystyle \mu _{\varphi }}$ in Linearfaktoren zerfällt, die alle einfach sind.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4.
• E. Lamprecht: Lineare Algebra I (= Uni-Taschenbücher. Band 1021). Uni-Taschenbücher, Basel (u. a.) 1980, ISBN 3-7643-1175-4.
• Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 150). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1974, ISBN 3-540-06715-9 (MR0366944).
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik (= Spektrum-Lehrbuch. Band 2: Lineare Algebra). 2., korrigierte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2010, ISBN 978-3-8274-2667-3.
• Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Band 5. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0437-1.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Oeljeklaus-Remmert: S. 241 ff.
2. Lamprecht: S. 139
3. Fischer: S. 242 ff.
4. Storch-Wiebe: S. 317
5. Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Fünfter Band. S. 241.
6. Statt ${\displaystyle \phi }$-stabil nennt man eine solche Fahne auch ${\displaystyle \phi }$-invariant.
7. Einen solchen Endomorphismus nennt man statt trigonalisierbar auch triangulierbar; vgl. Lexikon der Mathematik, Bd. 5, S. 241.
8. Storch-Wiebe: S. 318
9. Storch-Wiebe: S. 315–316