Ergodischer Fluss

Ergodische Flüsse s​ind ein Begriff a​us der Theorie dynamischer Systeme. Anschaulich bedeutet Ergodizität e​ines Flusses, d​ass fast a​lle Punkte z​u einer einzigen Flusslinie gehören.

Definition

Es sei ${\displaystyle \mu }$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle \phi \colon \Omega \times \mathbb {R} \to \Omega }$ ein Fluss, der das Maß ${\displaystyle \mu }$ erhält, d. h. für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ und alle messbaren Mengen ${\displaystyle A\subset \Omega }$ gelte ${\displaystyle \mu (\phi _{t}(A))=\mu (A)}$ , wobei ${\displaystyle \phi _{t}(A)=\left\{\phi (x,t)\colon x\in A\right\}}$ .

Dann heißt ${\displaystyle \phi }$ ein ergodischer Fluss, wenn für jede ${\displaystyle \phi }$ -invariante Menge ${\displaystyle A\subset \Omega }$ gilt:

${\displaystyle \mu (A)=0}$ oder ${\displaystyle \mu (A)=1}$ .

(Eine Menge ${\displaystyle A}$ heißt ${\displaystyle \phi }$ -invariant, wenn ${\displaystyle \phi _{t}(A)=A}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ gilt.)

Eine äquivalente Definition besagt, dass ${\displaystyle \phi }$ genau dann ergodisch ist, wenn die einzigen ${\displaystyle \phi }$ -invarianten Funktionen ${\displaystyle f\in L^{1}(\Omega ,\mu )}$ die konstanten Funktionen sind. (Eine Funktion heißt ${\displaystyle \phi }$ -invariant, wenn für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ für ${\displaystyle \mu }$ -fast alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ die Gleichung ${\displaystyle f(\phi (x,t))=f(x)}$ gilt.)

Eigenschaften

• Weil alle Orbits

${\displaystyle \left\{\phi (x,t),t\in \mathbb {R} \right\}}$

(mit ${\displaystyle x\in \Omega }$ ) ${\displaystyle \phi }$ -invariant sind, muss insbesondere genau ein Orbit Maß 1 und alle anderen Orbits Maß 0 haben. Insbesondere definiert ein ergodischer Fluss eine ergodische Wirkung der Gruppe der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

• Für ergodische Flüsse gilt der Ergodensatz:

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(\phi (x,t))dt=\int _{\Omega }fd\mu }$

für ${\displaystyle \mu }$ -fast alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ und jede Funktion ${\displaystyle f\in L^{1}(\Omega ,\mu )}$ .

Beispiele

• Der geodätische Fluss einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist ergodisch.
• Der horozyklische Fluss einer kompakten hyperbolischen Fläche ist ergodisch.

Literatur

• A. Katok und B. Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1995, ISBN 0-521-34187-6.