Horozyklischer Fluss

In d​er Mathematik i​st der horozyklische Fluss e​in Beispiel e​ines algebraisch beschreibbaren chaotischen dynamischen Systems.

Definition

Es sei ${\displaystyle F}$ eine hyperbolische Fläche, also eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Form

${\displaystyle F=\Gamma \backslash H^{2}}$ ,

wobei ${\displaystyle H^{2}}$ die hyperbolische Ebene und ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (H^{2})}$ eine diskrete Gruppe von Isometrien ist.

Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in rot) und ein zugehöriger Horozykel (in blau).

Betrachte die hyperbolische Ebene ${\displaystyle H^{2}}$ und ihr Einheitstangentialbündel ${\displaystyle T^{1}H^{2}}$ . Die Wirkung der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien

${\displaystyle \mathrm {Isom} ^{+}(H^{2})\simeq {PSL}(2,\mathbb {R} )}$

auf ${\displaystyle T^{1}H^{2}}$ induziert eine Bijektion zwischen ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle T^{1}H^{2}}$ . Wir betrachten die Wirkung von ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle T^{1}H^{2}=PSL(2,\mathbb {R} )}$ als Linkswirkung. Dann entspricht der horozyklische Fluss ${\displaystyle \Psi _{t}}$ der Rechtswirkung von ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&t\\0&1\end{array}}\right)}$ auf ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ .

Diese Rechtswirkung ${\displaystyle \Psi _{t}}$ kommutiert mit der Linkswirkung von ${\displaystyle \Gamma }$ , induziert also eine wohldefinierte Wirkung ${\displaystyle \Psi _{t}}$ auf dem Einheitstangentialbündel

${\displaystyle T^{1}F=\Gamma \backslash T^{1}H^{2}}$ ,

die a​ls horozyklischer Fluss bezeichnet wird.

Die Orbits des horozyklischen Flusses sind die Projektionen auf die Fläche ${\displaystyle F}$ der Einschränkungen des Einheitstangentialbündels ${\displaystyle T^{1}H^{2}}$ auf den Horozykeln in der hyperbolischen Ebene.

Eigenschaften

Wechselwirkung mit anderen Flüssen

Eine häufig verwendete Eigenschaft des horozyklischen Flusses ist seine Wechselwirkung mit dem geodätischen Fluss ${\displaystyle \Phi _{t}}$ . Es gilt

${\displaystyle \Phi _{s}\Psi _{t}\Phi _{-s}=\Psi _{e^{2s}t}}$

für alle ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$ . Insbesondere sind die Orbits des horozyklischen Flusses die stabilen Mannigfaltigkeiten des geodätischen Flusses.

Häufig wird auch der sogenannte negative horozyklische Fluss ${\displaystyle \Psi _{t}^{-}}$ betrachtet, dessen Wirkung auf ${\displaystyle T^{1}H^{2}=PSL(2,\mathbb {R} )}$ durch die Rechts-Wirkung von ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\t&1\end{array}}\right)}$ auf ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ gegeben ist. Für diesen gilt

${\displaystyle \Phi _{s}\Psi _{t}^{-}\Phi _{-s}=\Psi _{e^{-2s}t}^{-}}$ ,

seine Orbits s​ind die unstabilen Mannigfaltigkeiten d​es geodätischen Flusses.

Kompakte Flächen

Wenn ${\displaystyle F}$ kompakt ist, dann ist der horozyklische Fluss minimal[1], ergodisch bzgl. des Liouville-Maßes (welches im Fall hyperbolischer Flächen mit dem Bild des Haar-Maßes unter der Projektion ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )=T^{1}H^{2}\to T^{1}F}$ übereinstimmt) und sogar eindeutig ergodisch, d. h. jedes Fluss-invariante Maß ist ein skalares Vielfaches des Liouville-Maßes.[2] Insbesondere sind alle Orbits gleichverteilt bzgl. des Liouville-Maßes.

Nichtkompakte Flächen endlichen Volumens

Wenn ${\displaystyle F}$ endliches Volumen (bzgl. des Haar-Maßes) hat, aber nicht kompakt ist, dann hat man periodische Orbits (entsprechend den geschlossenen Horozykeln um die Spitzen von ${\displaystyle F}$ ), aber mit Ausnahme der Linearkombinationen von Dirac-Maßen auf diesen periodischen Orbits sind die skalaren Vielfachen des Liouville-Maßes wieder die einzigen Fluss-invarianten Maße und alle nichtperiodischen Orbits sind gleichverteilt bzgl. des Liouville-Maßes.[3][4]

Literatur

• Ghys, Étienne: Dynamique des flots unipotents sur les espaces homogènes. Séminaire Bourbaki, Vol. 1991/92. Astérisque No. 206 (1992), Exp. No. 747, 3, 93–136.
• Morris, Dave Witte: Ratner's theorems on unipotent flows. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2005. ISBN 0-226-53983-0; 0-226-53984-9

Einzelnachweise

1. Hedlund, Gustav A.: Fuchsian groups and transitive horocycles. Duke Math. J. 2 (1936), no. 3, 530–542.
2. Furstenberg, Harry: The unique ergodicity of the horocycle flow. Recent advances in topological dynamics (Proc. Conf., Yale Univ., New Haven, Conn., 1972; in honor of Gustav Arnold Hedlund), pp. 95–115. Lecture Notes in Math., Vol. 318, Springer, Berlin, 1973.
3. Dani, S. G.: Invariant measures of horospherical flows on noncompact homogeneous spaces. Invent. Math. 47 (1978), no. 2, 101–138.
4. Dani, S. G.; Smillie, John: Uniform distribution of horocycle orbits for Fuchsian groups. Duke Math. J. 51 (1984), no. 1, 185–194.