Elementarsymmetrisches Polynom

In d​er Mathematik, insbesondere i​n der kommutativen Algebra, s​ind die elementarsymmetrischen Polynome Grundbausteine d​er symmetrischen Polynome i​n dem Sinn, d​ass sich letztere s​tets als Polynom i​n ersteren ausdrücken lassen u​nd dies a​uf nur e​ine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) ${\displaystyle n}$ von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad ${\displaystyle k\leq n}$ gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom.

Definition

Es seien ${\displaystyle T,X_{1},\ldots ,X_{n}}$ Unbestimmte. Die Koeffizienten von

${\displaystyle (T+X_{1})(T+X_{2})\dotsm (T+X_{n})=T^{n}+\sigma _{1}T^{n-1}+\sigma _{2}T^{n-2}+\dotsb +\sigma _{n}}$

als Polynom in ${\displaystyle T}$ sind symmetrisch in ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$; sie heißen elementarsymmetrische Polynome. Sie sind explizit angebbar als

${\displaystyle \sigma _{1}=X_{1}+\dotsb +X_{n}}$

${\displaystyle \sigma _{2}=X_{1}X_{2}+\dotsb +X_{1}X_{n}+X_{2}X_{3}+\dotsb +X_{2}X_{n}+\dotsb +X_{n-1}X_{n}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}X_{i_{1}}\dotsm X_{i_{k}}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \sigma _{n}=X_{1}\dotsm X_{n}}$

Dabei kann man ${\displaystyle \sigma _{k}}$ auch schreiben als

${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{S\subseteq \{1,\dotsc ,n\} \atop \#S=k}\ \prod _{i\in S}X_{i}\ .}$

Beispiele

• Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ sind

${\displaystyle \sigma _{1}=X+Y\qquad }$ sowie ${\displaystyle \sigma _{2}=X\cdot Y}$

• In den drei Variablen ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ existieren die drei elementarsymmetrischen Polynome

${\displaystyle \sigma _{1}=X+Y+Z\qquad \sigma _{2}=X\cdot Y+X\cdot Z+Y\cdot Z\qquad \sigma _{3}=X\cdot Y\cdot Z}$

Eigenschaften

• In einem elementarsymmetrischen Polynom haben die Monome einen einheitlichen Grad: es ist ein homogenes Polynom.
• Nimmt man den Grad ${\displaystyle n}$ der ${\displaystyle S_{n}}$ als ersten Index hinzu, dann ist für ${\displaystyle n=2}$

	${\displaystyle \sigma _{2,1}(X_{1},X_{2})}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle X_{2}}$
	${\displaystyle \sigma _{2,2}(X_{1},X_{2})}$	${\displaystyle =}$			${\displaystyle X_{1}\cdot X_{2}}$
Für ${\displaystyle n>2}$ lassen sich die elementarsymmetrischen Polynome folgendermaßen rekursiv berechnen:
	${\displaystyle \sigma _{n,1}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sigma _{n-1,1}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle X_{n}}$
	${\displaystyle \sigma _{n,k}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sigma _{n-1,k}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \sigma _{n-1,k-1}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})\cdot X_{n}}$	${\displaystyle (k\in \{2,\dotsc ,n-1\})}$
	${\displaystyle \sigma _{n,n}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$	${\displaystyle =}$			${\displaystyle \sigma _{n-1,n-1}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})\cdot X_{n}}$

• Das elementarsymmetrische Polynom ${\displaystyle \sigma _{n,k}}$ vom Symmetriegrad ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und Polynomgrad ${\displaystyle k\in \{1,\dotsc ,n\}}$ enthält ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ Monome.

• Hauptsatz der elementarsymmetrischen Polynome:[1]

${\displaystyle A[X_{1},\dotsc ,X_{n}]^{S_{n}}=A[\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{n}]}$

In Worten: Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. Der Satz stammt von Joseph-Louis Lagrange, war aber schon Isaac Newton bekannt.

Genauer gilt sogar, dass diese Darstellung eindeutig ist, denn:

• Die elementarsymmetrischen Polynome sind algebraisch unabhängig.

das heißt: Es gibt keine zwei verschiedene Polynome ${\displaystyle P_{1},\,P_{2}}$ in den Variablen ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$, für die gilt: ${\displaystyle P_{1}(\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{n})=P_{2}(\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{n})}$

• Es seien ${\displaystyle A}$ ein Integritätsbereich,

${\displaystyle p(T)=T^{n}+a_{1}T^{n-1}+a_{2}T^{n-2}+\dotsb +a_{n}}$

ein Polynom mit Koeffizienten in ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ die (mit Vielfachheit gezählten) Nullstellen von ${\displaystyle p}$ in einem algebraischen Abschluss des Quotientenkörpers von ${\displaystyle A}$. Dann gilt nach dem Wurzelsatz von Vieta:

${\displaystyle a_{1}=-(x_{1}+\dotsb +x_{n})}$

${\displaystyle a_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\dotsb +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\dotsb +x_{n-1}x_{n}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}\cdot \sigma _{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}x_{1}\dotsm x_{n}.}$

Berechnung

Bei Zahlwerten (anstelle von Unbestimmten) gestaltet sich die Rechnung besonders einfach – statt mit ${\displaystyle 2^{n}}$ Monomen bestehend aus Produkten mit bis zu ${\displaystyle n}$ Faktoren hat man nur ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$ Multiplikationen.

Mit dem folgenden Programm lassen sich die Koeffizienten ${\displaystyle s_{k}}$ des Polynoms

${\displaystyle p(T)=T^{n}+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}s_{k}\,T^{n-k}}$

aus den Nullstellen ${\displaystyle x_{k}}$ des Polynoms

${\displaystyle p(T)=\prod _{k=1}^{n}(T-x_{k})}$

berechnen:

// Umwandlung von Nullstellen in Koeffizienten: double x[]; // bei Eingabe: n Zahlen für die Nullstellen x[1, ... ,n] // bei Ausgabe: n Zahlen für die Koeffizienten s[1, ... ,n] for (m=2; m≤n; ++m) { // leere Schleife, wenn n ≤ 1 y = x[m]; x[m] *= x[m-1]; // ${\displaystyle \sigma _{m,m}(x_{1},...,x_{m})=\sigma _{m-1,m-1}(x_{1},...,x_{m-1})\,x_{m}}$ for (k=m-1; k≥2; --k) { // leere Schleife, wenn m ≤ 2 x[k] += x[k-1]*y; // ${\displaystyle \sigma _{m,k}(x_{1},...,x_{m})=\sigma _{m-1,k}(x_{1},...,x_{m-1})\,+\,\sigma _{m-1,k-1}(x_{1},...,x_{m-1})\,x_{m}}$ } x[1] += y; // ${\displaystyle \sigma _{m,1}(x_{1},...,x_{m})=\sigma _{m-1,1}(x_{1},...,x_{m-1})\,+\,x_{m}}$ }

Beispiele

• ${\displaystyle X_{1}^{2}+\dotsb +X_{n}^{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$
• ${\displaystyle X_{1}^{3}+\dotsb +X_{n}^{3}=\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}.}$ Allgemein sind die Potenzsummen mit den elementarsymmetrischen Polynomen durch die Newton-Identitäten verbunden.
• Das Polynom

${\displaystyle \Delta (X_{1},\dotsc ,X_{n})=\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}\prod _{i\neq j}(X_{i}-X_{j})}$

ist symmetrisch in ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$, also kann man es als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. Ist nun

${\displaystyle p(T)=T^{n}+a_{1}T^{n-1}+a_{2}T^{n-2}+\dotsb +a_{n}}$

ein Polynom mit Nullstellen ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ wie oben und setzt man diese in ${\displaystyle \Delta }$ ein, so entsprechen die elementarsymmetrischen Ausdrücke bis auf die Vorzeichen den Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$, d. h., ${\displaystyle \Delta (x_{1},\dotsc ,x_{n})}$ ist ein nur von ${\displaystyle n}$ abhängendes Polynom in den Koeffizienten ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$. Bis auf Definitionsvarianten beim Vorzeichen ist dieses Polynom die Diskriminante von ${\displaystyle p}$.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Kapitel 4, Abschnitt 4.
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel III, §4.1.
• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, Kapitel IV, §3.3.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Jantzen, Schwermer: Algebra 2014, Kapitel IV, Satz 3.5.