Einbettungssatz von Schoenberg

Der Einbettungssatz v​on Schoenberg i​st ein Lehrsatz d​er Mathematik, d​er die möglichen Abstände für endliche Punktmengen i​m euklidischen Raum charakterisiert.

Satz

Sei ${\displaystyle X}$ ein endlicher metrischer Raum mit ${\displaystyle n+1}$ Punkten ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$. Dann gibt es genau dann eine isometrische Einbettung von ${\displaystyle X}$ in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ mit der Standardmetrik, wenn seine Gram-Matrix positiv semi-definit ist und Rang höchstens ${\displaystyle d}$ hat. Dabei ist die Gram-Matrix definiert als die ${\displaystyle n\times n}$-Matrix, deren ${\displaystyle (i,j)}$-Eintrag ${\displaystyle d(x_{0},x_{i})^{2}+d(x_{0},x_{j})^{2}-d(x_{i},x_{j})^{2}}$ ist.

Literatur

• Isaac Jacob Schoenberg: Remarks to Maurice Frechet’s article “Sur la definition axiomatique d’une classe d’espaces vectoriels distancies applicables vectoriellement sur l’espace de Hilbert”. Ann. Math. (2) 36, 724–732 (1935).

Weblinks

• H. Maehara: Euclidean embeddings of finite metric spaces