Dualität von Tests und Konfidenzbereichen

Die Dualität v​on Tests u​nd Konfidenzbereichen, a​uch Dualität v​on Tests u​nd Konfidenzintervallen, i​st in d​er mathematischen Statistik e​ine Verbindung zwischen Konfidenzbereichen u​nd statistischen Tests, d​ie es ermöglicht, a​us Konfidenzbereichen Tests z​u konstruieren u​nd umgekehrt. Somit können a​uch Konstruktionsverfahren a​us dem e​inen Themengebiet i​n das andere übertragen werden. Des Weiteren w​ird diese Dualität beispielsweise z​ur Beschreibung v​on Optimalitätseigenschaften v​on Konfidenzbereichen verwendet.[1]

Einführendes Beispiel

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ sowie ein Messraum ${\displaystyle (\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })}$. Ein wesentlicher Unterschied zwischen statistischen Tests und Konfidenzintervallen ist, dass ein Test als Funktionswerte 0 oder 1 annimmt bzw. im Falle eines randomisierten Tests Werte zwischen null und eins. Ein Test ist also eine Abbildung

${\displaystyle T\colon ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})\to ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]))}$.

Konfidenzintervalle hingegen nehmen als Werte Mengen an, also Elemente aus ${\displaystyle A_{\Gamma }}$, sind also Abbildungen

${\displaystyle C\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {A}}_{\Gamma }}$

mit zusätzlichen Messbarkeitseigenschaften, für Details s​iehe Bereichsschätzer.

Angenommen es handelt sich um ein parametrisches Modell und der Parameter soll geschätzt werden. Dann ist ${\displaystyle \Gamma =\Theta }$ und die zu schätzende Funktion (Parameterfunktion) ist

${\displaystyle g(\vartheta )=\vartheta }$.

Per Definition eines Konfidenzintervalls ${\displaystyle C(X)}$ mit Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ gilt

${\displaystyle P_{\vartheta }(\{x\in {\mathcal {X}}\mid \vartheta \in C(X)\})\geq 1-\alpha \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta }$.

Wählt man nun konkret ein fixes ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ aus ${\displaystyle \Theta }$, so ist

${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}(\{x\in {\mathcal {X}}\mid \vartheta _{0}\notin C(X)\})\leq \alpha \qquad }$ (1)

und

${\displaystyle P_{\vartheta }(\{x\in {\mathcal {X}}\mid \vartheta \in C(X)\})\geq 1-\alpha \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta \setminus \{\vartheta _{0}\}}$.

Definiert m​an nun e​inen statistischen Test

${\displaystyle T_{C}\colon {\mathcal {X}}\to [0,1]}$

durch

${\displaystyle T_{C}(X)=\mathbf {1} _{\{x\in {\mathcal {X}}\mid \vartheta _{0}\notin C(X)\}}(X)}$,

wobei ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ die Indikatorfunktion auf der Menge ${\displaystyle A}$ bezeichnet, so ist dies ein statistischer Test der Hypothese ${\displaystyle H_{0}=\vartheta _{0}}$ gegen die Alternative ${\displaystyle H_{1}=\Theta \setminus \{\vartheta _{0}\}}$. Nach der Gleichung (1) hält er das Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ ein.[2]

Als konkretes Beispiel betrachte man das Normalverteilungsmodell mit bekannter Varianz ${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$ und unbekanntem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$, also das statistische Modell ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),({\mathcal {N}}(\mu ,\sigma _{0}^{2}))_{\mu \in \mathbb {R} })}$. Ein rechtsseitig unbeschränktes Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert zum Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ ist gegeben durch

${\displaystyle C(X)=\left[{\overline {X}}-{\tfrac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha };\infty \right)}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle u_{\alpha }}$ das ${\displaystyle \alpha }$-Quantil der Standardnormalverteilung, welches aus der Quantiltabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden kann und

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

das Stichprobenmittel. Es folgt für einen festen Mittelwert ${\displaystyle \mu _{0}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mu _{0}\notin C(X)\iff \mu _{0}<{\overline {X}}-{\tfrac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha }\iff \mu _{0}+{\tfrac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha }<{\overline {X}}}$.

Somit ergibt sich als statistischer Test zum Niveau ${\displaystyle \alpha }$ von ${\displaystyle H_{0}=\mu _{0}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}=\mathbb {R} \setminus \{\mu _{0}\}}$

${\displaystyle T(X,\mu _{0})={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\quad \mu _{0}+{\tfrac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha }<{\overline {X}}\\0&{\text{ sonst.}}\end{cases}}}$

Dualität mittels Formhypothesen

Allgemeiner kann eine Bijektion zwischen den Konfidenzbereichen und den nichtrandomisierten Tests mittels des Konzepts der Formhypothesen hergestellt werden. Gegeben seien Formhypothesen ${\displaystyle ({\tilde {H}}_{\vartheta },{\tilde {K}}_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ und korrespondierende Testhypothesen ${\displaystyle (H_{\gamma },K_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }}$ zu einem statistischen Modell ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ und einem Entscheidungsraum ${\displaystyle (\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })}$.

Nichtrandomisierte Tests aus Konfidenzbereichen

Sei ${\displaystyle C}$ ein Konfidenzbereich zu den Formhypothesen ${\displaystyle ({\tilde {H}}_{\vartheta },{\tilde {K}}_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ zum Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$. Definiere für jedes ${\displaystyle \gamma }$ die Menge

${\displaystyle A_{C,\gamma }:=\{x\in {\mathcal {X}}\mid \gamma \in C(x)\}}$.

Dann ist für jedes ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \varphi _{\gamma }(x)={\begin{cases}1&{\text{falls}}\quad x\notin A_{C,\gamma }\\0&{\text{ falls}}\quad x\in A_{C,\gamma }\end{cases}}}$

ein Test zum Niveau ${\displaystyle \alpha }$ für die Nullhypothese ${\displaystyle H_{\gamma }}$ gegen die Alternative ${\displaystyle K_{\gamma }}$. Die Menge ${\displaystyle A_{C,\gamma }}$ ist somit genau der Annahmebereich des Tests ${\displaystyle \varphi _{\gamma }}$.

Konfidenzbereiche aus nichtrandomisierten Tests

Gegeben sei für jedes ${\displaystyle \gamma }$ ein nichtrandomisierter Test zum Niveau ${\displaystyle \alpha }$ der Nullhypothese ${\displaystyle H_{\gamma }}$ gegen die Alternative ${\displaystyle K_{\gamma }}$ mit dem Annahmebereich ${\displaystyle A_{\gamma }}$. Die Tests sind also von der Form

${\displaystyle \varphi _{\gamma }(x)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\quad x\notin A_{\gamma }\\0&{\text{ falls }}\quad x\in A_{\gamma }\end{cases}}}$.

Dann ist

${\displaystyle C(x):=\{\gamma \in \Gamma \mid x\in A_{\gamma }\}}$

ein Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ zu den Formhypothesen ${\displaystyle ({\tilde {H}}_{\vartheta },{\tilde {K}}_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$

Korrespondenz der Optimalitätsbegriffe

Über d​ie Formhypothesen u​nd die korrespondierenden Testhypothesen lassen s​ich nicht n​ur Tests konstruieren, sondern e​s lassen s​ich auch Optimalitätsaussagen v​on Tests a​uf Konfidenzbereiche übertragen u​nd umgekehrt. Es gilt:

Ein Konfidenzbereich zu den Formhypothesen ${\displaystyle ({\tilde {H}}_{\vartheta },{\tilde {K}}_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ und dem Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ ist genau dann ein gleichmäßig bester Konfidenzbereich (bzw. ein gleichmäßig bester unverfälschter Konfidenzbereich), wenn für jedes ${\displaystyle \gamma }$ der Test ${\displaystyle \varphi _{\gamma }}$ wie er oben beschrieben wurde eine gleichmäßig bester Test (bzw. ein gleichmäßig bester unverfälschter Test) zum Niveau ${\displaystyle \alpha }$ für die Nullhypothese ${\displaystyle H_{\gamma }}$ gegen die Alternative ${\displaystyle K_{\gamma }}$ ist.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

Einzelnachweise

1. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 240, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
2. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 158, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.