Nichtrandomisierter Test

Als nichtrandomisierte Tests w​ird in d​er Testtheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik, e​ine spezielle Klasse v​on statistischen Tests bezeichnet. Im Gegensatz z​u den randomisierten Tests liefern s​ie stets e​ine eindeutige Entscheidung, o​b die Hypothese abzulehnen o​der beizubehalten ist. Wesentlicher Vorteil v​on nichtrandomisierten Tests ist, d​ass sie leichter zugänglich u​nd verständlich sind. Jedoch s​ind sie a​us mathematischer Sicht v​on Nachteil, d​a sie einige wünschenswerten Eigenschaften n​icht besitzen. So lassen s​ich viele Existenz- u​nd Optimalitätsaussagen für nichtrandomisierte Tests n​icht zeigen.

Definition

Anschaulich ist ein nichtrandomisierter Test ${\displaystyle \varphi }$ eine Abbildung, die jeder Beobachtung ${\displaystyle x}$ zuordnet, ob bei Vorliegen dieser Beobachtung die Nullhypothese beibehalten wird oder ob sie abgelehnt wird. Dabei wird die Entscheidung codiert mit 1="Ablehnung der Nullhypothese" und 0="Beibehaltung der Nullhypothese"

Streng formell wird ein nichtrandomisierter Test wie folgt definiert: gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$. Ein nichtrandomisierter Test ist eine Statistik

${\displaystyle \varphi \colon (X,{\mathcal {A}})\to ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]))}$,

welche nur die Werte null oder eins annimmt. Es ist also ${\displaystyle \varphi (x)\in \{0,1\}}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$.

Beispiel

Gegeben sei die Grundmenge ${\displaystyle X=\{0,1,2,\dots ,10\}}$, versehen mit der Potenzmenge als σ-Algebra, also ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$. Diese Menge kann beispielsweise mit der Binomialverteilung mit ${\displaystyle n=10}$ und ${\displaystyle \vartheta =p\in (0,1)}$ als Wahrscheinlichkeitsverteilung versehen werden. Dies und die exakte Wahl der Hypothesen ist für die Definition eines nichtrandomisierten Tests vorerst nicht relevant.

Ein nichtrandomisierter Test wäre beispielsweise gegeben durch

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}x\leq 7\\1&{\text{ falls }}x\geq 8\end{cases}}}$.

Der Test behält s​omit bei Werten kleinergleich sieben d​ie Nullhypothese b​ei und l​ehnt sie b​ei Werten größergleich a​cht ab. Er n​immt nur d​ie Werte n​ull und e​ins an u​nd ist s​omit ein nichtrandomisierter Test.

Abgrenzung zu den randomisierten Tests

Wesentlicher Unterschied zwischen randomisierten Tests und nichtrandomisierten Tests ist, dass randomisierte Tests auch Werte zwischen null und eins, also aus dem Intervall ${\displaystyle (0,1)}$, annehmen. Diese Werte werden dann als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, sich gegen die Nullhypothese zu entscheiden. Bei Vorliegen solch eines Wertes müsste dann ein entsprechendes Losverfahren durchgeführt werden, um die Entscheidung zu fällen. Im Gegensatz dazu sind nichtrandomisierte Tests in dem Sinne deterministisch, als dass sie bei vorliegen gleicher Daten stets die gleiche Entscheidung fällen. Dies ist bei randomisierten Tests nicht der Fall.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 21, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, S. 483–484, doi:10.1007/b137972.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 266, doi:10.1515/9783110215274.