Doobsche Maximalungleichung

Die Doobsche Maximalungleichung ist eine der zentralen Ungleichungen in der Stochastik. Neben der Burkholder-Ungleichung ist sie eine der gängigsten Berechnungsmethoden für die (stochastische) Größenordnung von (stetigen) Martingalen. Sie ist nach Joseph L. Doob benannt und findet sich in der Literatur unter unterschiedlichen Namen (Doobsche ${\displaystyle L^{p}}$-Ungleichung,[1] Doobsche Ungleichung(en),[2] Doobsche Extremal-Ungleichungen,[3] Maximale Ungleichung,[4] Doobs Maximal-Ungleichung[5]) wie auch in leicht unterschiedlichen Formulierungen, die sich durch die Anzahl der angegebenen Ungleichungen und die Voraussetzungen unterscheiden. Die Benennung als ${\displaystyle L^{p}}$-Ungleichung folgt aus der Verwendung der ${\displaystyle L^{p}}$-Norm, die Benennung als "Maximal", da das Supremum der ersten Glieder des Prozesses abgeschätzt wird. Es finden sich auch Unterschiede in der Notation, so werden entweder die ${\displaystyle L^{p}}$-Norm oder der Erwartungswert zur Formulierung verwendet.

Diskrete Indexmenge

Sei ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ein stochastischer Prozess. Definiere

${\displaystyle X_{n}^{*}:=\sup\{X_{k}\,|\,k\leq n\}}$ und ${\displaystyle |X|_{n}^{*}:=\sup\{|X_{k}|\,|\,k\leq n\}}$

Ist ${\displaystyle X}$ ein Submartingal, dann gilt für jedes ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle \lambda P(X_{n}^{*}\geq \lambda )\leq \operatorname {E} (X_{n}\mathbf {1} _{\{X_{n}^{*}\geq \lambda \}})\leq \operatorname {E} (|X_{n}|\mathbf {1} _{\{X_{n}^{*}\geq \lambda \}})}$.

Ist ${\displaystyle X}$ ein Martingal oder ein positives Submartingal und ist ${\displaystyle \lambda >0}$ sowie ${\displaystyle p\geq 1}$, so gilt

${\displaystyle \lambda ^{p}P(|X|_{n}^{*}\geq \lambda )\leq \operatorname {E} (|X_{n}|^{p})}$.

Des Weiteren gilt für jedes ${\displaystyle p>1}$ immer

${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|^{p})\leq \operatorname {E} \left(\left(|X|_{n}^{*}\right)^{p}\right)\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\operatorname {E} (|X_{n}|^{p})}$

In der Formulierung finden sich diverse Unterschiede. So zählen manche Autoren die erste Ungleichung nicht dazu,[6] andere formulieren lediglich die erste und die zweite Ungleichung, und diese nur für positive Submartingale[7], zeigen nur einen Spezialfall für fixes ${\displaystyle p}$ [8] oder nennen die erste Ungleichung Doobsche Extremal-Ungleichung und die zweite Doobsche ${\displaystyle L^{p}}$-Ungleichung.[9]

Stetige Indexmenge

Es sei ${\displaystyle (M_{t})_{t\geq 0}\;}$ ein Martingal oder nichtnegatives Submartingal und ${\displaystyle p>1}$ und sei ${\displaystyle (M_{t})}$ rechtsstetig. Dann gilt[10] für alle ${\displaystyle T>0}$:

${\displaystyle \|\sup _{t\leq T}|M_{t}|\,\|_{p}\leq {\frac {p}{p-1}}\|M_{T}\|_{p}}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ die Lp-Norm. Man beachte, dass ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ die konjugierte reelle Zahl zu ${\displaystyle p}$ ist, d. h., es gilt ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$. Entsprechend ist der zentrale Beweisschritt die Anwendung der Hölder-Ungleichung.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.

Einzelnachweise

1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 222.
2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 484.
3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 284.
4. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 430.
5. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 327.
6. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 222.
7. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 327.
8. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 430.
9. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 284–286.
10. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, S. 412f