Burkholder-Ungleichung

Die Burkholder-Ungleichung (auch Burkholder-Davis-Gundy-Ungleichung) i​st eine Ungleichung a​us der Stochastik. Sie stellt d​en Zusammenhang zwischen d​er Größenordnung e​ines Martingals u​nd seiner quadratischen Variation her. Benannt w​urde sie n​ach Donald Burkholder, d​er emeritierter Professor a​n der University o​f Illinois war.

Formulierung

Es sei ${\displaystyle M}$ ein stetiges lokales Martingal mit ${\displaystyle M_{0}=0\;}$, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t}),P)\ }$. Dann existieren zu jedem ${\displaystyle p>0\;}$ Konstanten ${\displaystyle c_{p},C_{p}\;}$, so dass für jedes ${\displaystyle t>0\;}$

${\displaystyle c_{p}E[\langle M,M\rangle _{t}^{\frac {p}{2}}]\leq E[\sup _{s\leq t}|M_{s}|^{p}]\leq C_{p}E[\langle M,M\rangle _{t}^{\frac {p}{2}}]}$

gilt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \langle M,M\rangle _{t}\;}$ die quadratische Variation von ${\displaystyle M}$.

Verwendung

Die Burkholder-Ungleichung i​st ein wichtiges Hilfsmittel b​ei der Herleitung v​on Grenzwertsätzen für stochastische Prozesse.

Literatur

• D. L. Burkholder: Martingale transforms. In: Annals of Mathematical Statistics. Band 37, Nr. 6, 1966, S. 1494–1504, doi:10.1214/aoms/1177699141 JSTOR 2238766.
• M. Beiglböck, J. Sieorpaes: Pathwise versions of the Burkholder–Davis–Gundy inequality. In: Bernoulli. Band 21, Nr. 1, 2015, S. 360–373, doi:10.3150/13-BEJ570