Diamant-Norm

Mithilfe d​er Diamant-Norm werden i​n der Quantenmechanik häufig Abstände zweier Quantenkanäle angegeben. Durch d​en Jamiolkowski-Isomorphismus lässt s​ich dieser Abstand a​uch auf Zustände erweitern. Bei quantenmechanischen Messungen w​ird das System gestört, d​er Zustand d​es Quants ändert sich. In theoretischen Überlegungen w​ird eine quantenmechanische Messung durchgeführt, i​ndem ein linearer Operator a​uf den vorigen Zustand angewandt wird. Die Eigenwerte, d​ie das Produkt a​us Operator u​nd Eigenvektoren hat, s​ind alle möglichen Messwerte, d​ie bei e​iner Messung auftreten können. Es stellt s​ich nach d​er Messung d​ie Frage, w​ie weit d​ie Zustände, i​n denen s​ich die Quanten n​un befinden, auseinanderliegen. Eine Möglichkeit, diesen Abstand z​u bestimmen, w​ird durch d​ie Diamant-Norm gegeben.

Sei ${\displaystyle \Phi }$ ein Quantenkanal und ${\displaystyle J(\Phi )}$ der zugehörige Zustand:

${\displaystyle J(\Phi )={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq i,j\leq n}\Phi \left(\left|i\right\rangle \left\langle j\right|\right)\otimes \left|i\right\rangle \left\langle j\right|}$

Hierbei wird, wenn die Karten des Kanals zwei beliebigen ${\displaystyle M_{m}(\mathbb {C} )}$ und ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$ mit ${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$ entsprechen, die Matrix ${\displaystyle J(\Phi )}$ auch als Choi-Jamiolkowski-Darstellung bezeichnet. Nun seien ${\displaystyle \Phi _{1},\Phi _{2}}$ zwei Quantenkanäle, dann entspricht der Abstand in der Diamant-Norm:

${\displaystyle \left\|\Phi _{1}-\Phi _{2}\right\|_{\diamond }=\sup _{\rho }\left\|(\Phi _{1}\otimes \operatorname {Id} _{k})(\rho )-(\Phi _{2}\otimes \operatorname {Id} _{k})(\rho )\right\|_{1}}$

mit ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}}$ Identitätskanal, abgebildet von ${\displaystyle M_{k}(\mathbb {C} )}$ auf sich selbst, ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ Spur-Norm, dem Supremum über alle ${\displaystyle k\geq 1}$ und allen Dichteoperatoren ${\displaystyle \rho }$ aus ${\displaystyle M_{nk}=M_{n}\otimes M_{k}}$. Dieses Supremum ist stets errechenbar für ein fest gewähltes ${\displaystyle k}$. Der entsprechend berechnete Abstand drückt ebenso die Irrtumswahrscheinlichkeit für eine Missdeutung des Ergebnisses zweier Quantenkanäle aus[1] und wird bei entsprechenden Vergleichsberechnungen gerne herangezogen.[2]:In vielen Fällen hilft auch die reine Verwendung der Spur-Norm, manchmal liefert sie aber keine zufriedenstellenden Ergebnisse, insbesondere bei der Betrachtung von Quantenkanälen.

Literatur

• Avraham Ben-Aroya, Amnon Ta-Shma: On the complexity of approximating the diamond norm. In: Quantum Physics. 2009, arxiv:0902.3397 (englisch).
• Walter Noll: Finite-Dimensional Spaces: Algebra, Geometry and Analysis. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-94-010-9335-4, S. 168 ff. (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise

1. Andrew Childs, Michele Mosca: Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography: 4th Workshop, TQC 2009, Waterloo, Canada, May 11-13. Revised Selected Papers Springer, 10. März 2010, S. 68
2. James M. McCracken: Negative Quantum Channels: An Introduction to Quantum Maps that are Not Completely Positive Morgan & Claypool Publishers, 2014, S. 121