Debye-Relaxation

Die Debye-Relaxation (nach Peter Debye) beschreibt zeitliche Umpolariastionsprozesse d​er elektrischen Polarisation e​ines Materials m​it Hilfe v​on Dämpfungsgliedern erster Ordnung. Es handelt s​ich also u​m den Spezialfall d​er überkritisch gedämpften dielektrischen Resonanz.

Mathematische Beschreibung

Dielektrischer Schwingkreis

Aus dem Zusammenhang zwischen der elektrischen Flussdichte ${\displaystyle D}$ und der elektrischen Feldstärke ${\displaystyle E_{m}}$ im Material definiert sich bei ${\displaystyle \omega =0}$ die statische Dielektrizitätskonstante des Materials ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$. Bei ${\displaystyle \omega =\infty }$ wird die Dieletrizität mit ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$ bezeichnet. Es gilt:

${\displaystyle D(t)=\varepsilon _{0}\varepsilon _{s}E_{m}(t)}$,

${\displaystyle \tau {\dot {D}}(t)=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\infty }\tau {\dot {E}}_{m}(t)}$,

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}{\ddot {D}}(t)=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\infty }{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}{\ddot {E}}_{m}(t)}$

${\displaystyle \omega _{0}}$ ist die Resonanzfrequenz, ${\displaystyle \tau }$ ist die Relaxationszeit. Addition aller drei Gleichungen ergibt:

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}{\ddot {D}}(t)+\tau {\dot {D}}(t)+D(t)=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\infty }{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}{\ddot {E}}_{m}(t)+\varepsilon _{0}\varepsilon _{\infty }\tau {\dot {E}}_{m}(t)+\varepsilon _{0}\varepsilon _{s}E_{m}(t)}$

Die Fouriertransformierte d​er Gleichung i​st folglich:

${\displaystyle \left(-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \tau +1\right)D(j\omega )=\varepsilon _{0}\left(-\varepsilon _{\infty }{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \varepsilon _{\infty }\tau +\varepsilon _{s}\right)E_{m}(j\omega )}$

Es gilt also für die komplexe frequenzabhängige elektrische Permittivität ${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}_{r}}$:

${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}_{r}=\varepsilon _{r}'-j\varepsilon _{r}''={\frac {D(j\omega )}{\varepsilon _{0}E_{m}(j\omega )}}={\frac {-\varepsilon _{\infty }{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \varepsilon _{\infty }\tau +\varepsilon _{s}}{-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \tau +1}}={\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \tau +1}}+\varepsilon _{\infty }}$

Die Aufteilung in Realteil ${\displaystyle \varepsilon _{r}'}$ und Imaginärteil ${\displaystyle \varepsilon _{r}''}$ ergibt nun:

${\displaystyle \varepsilon _{r}'={\frac {\left(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }\right)\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)}{\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)^{2}+\left(\omega \tau \right)^{2}}}+\varepsilon _{\infty }}$,

${\displaystyle \varepsilon _{r}''={\frac {\left(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }\right)\omega \tau }{\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)^{2}+\left(\omega \tau \right)^{2}}}}$

Grenzfall für Debye-Relaxation

Wenn die Relaxationszeiten ${\displaystyle \tau \gg \omega _{0}^{-1}}$ viel größer gegenüber der inversen Resonanzfrequenz unterliegt das Material einer Debye-Relaxation. Die zeitlichen Ableitungen zweiter Ordnung können demnach vernachlässigt werden und es gilt:

${\displaystyle \varepsilon _{r}'={\frac {\left(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }\right)}{1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}+\varepsilon _{\infty }}$

${\displaystyle \varepsilon _{r}''={\frac {\left(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }\right)\omega \tau }{1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}}$

Den Plot von ${\displaystyle \varepsilon _{r}'}$ gegen ${\displaystyle \varepsilon _{r}''}$ nennt man Cole-Cole-Diagramm, der direkte Zusammenhang zwischen ${\displaystyle \varepsilon _{r}'}$ und ${\displaystyle \varepsilon _{r}''}$ wird Kramers-Kronig-Relation bezeichnet und es wird der Verlustfaktor definiert zu:

${\displaystyle \tan \left(\delta \right)={\frac {\varepsilon _{r}''}{\varepsilon _{r}'}}}$

Für d​en über d​ie Frequenz maximierten Verlustfaktor gilt:

${\displaystyle \tan \left(\delta \right)_{\mathrm {max} }={\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{2{\sqrt {\varepsilon _{s}\varepsilon _{\infty }}}}}}$

Literatur

• Ellen Ivers-Tiffee, Waldemar von Münch: Werkstoffe der Elektrotechnik. 10. Auflage. Teubner Verlag, 2007, ISBN 978-3-8351-0052-7.