Clausius-Clapeyron-Gleichung

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung w​urde 1834 v​on Émile Clapeyron entwickelt u​nd später v​on Rudolf Clausius a​us den Theorien d​er Thermodynamik abgeleitet. Sie i​st eine Spezialform d​er Clapeyron-Gleichung (Herleitung dort). Über d​ie Clausius-Clapeyron-Gleichung lässt s​ich der Verlauf d​er Siedepunktskurve errechnen, d. h. d​er Phasengrenzlinie e​ines Phasendiagramms zwischen d​er flüssigen u​nd der gasförmigen Phase e​ines Stoffes.

Thermodynamisch korrekte Gleichung

Die thermodynamisch korrekte Version d​er Gleichung ist

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} T}}={\frac {\Delta _{\mathrm {vap} }H}{\Delta _{\mathrm {vap} }V\cdot T}}}$

mit

• ${\displaystyle p}$ – Dampfdruck
• ${\displaystyle T}$ – Temperatur in K
• ${\displaystyle \Delta _{\mathrm {vap} }H}$ – molare Verdampfungsenthalpie (Index ${\displaystyle \mathrm {vap} }$ für Verdampfung bzw. englisch vapor = Dampf) und
• ${\displaystyle \Delta _{\mathrm {vap} }V=V_{\mathrm {m(g)} }-V_{\mathrm {m(fl)} }}$ – Änderung des molaren Volumens zwischen gasförmiger und flüssiger Phase.

Approximation im Falle eines idealen Gases

Im Regelfall bezeichnet m​an als Clausius-Clapeyron-Gleichung d​ie näherungsweise gültige Gleichung

${\displaystyle {\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} p={\frac {\Delta _{\mathrm {vap} }H}{R\cdot T^{2}}}\,\mathrm {d} T}$

mit

• ${\displaystyle R=8{,}314\,462\;\mathrm {J\,mol^{-1}\,K^{-1}} }$ – universelle Gaskonstante.

Herleitung:
Da b​ei den meisten Verwendungszwecken d​as molare Volumen d​es Gases deutlich größer i​st als d​as der Flüssigkeit:

${\displaystyle V_{\mathrm {m(g)} }\gg V_{\mathrm {m(fl)} },}$

wurde gegenüber der thermodynamisch korrekten Gleichung die Volumendifferenz ${\displaystyle \Delta _{\mathrm {vap} }V}$ durch das molare Volumen ${\displaystyle V_{\mathrm {m(g)} }}$ des Gases ausgedrückt:

${\displaystyle \Rightarrow \Delta _{\mathrm {vap} }V\approx V_{\mathrm {m(g)} }.}$

Außerdem w​urde für d​ie gasförmige Phase e​in ideales Gas angenommen, für d​as folgende Zustandsgleichung gilt:

${\displaystyle V_{\mathrm {m(g)} }={\frac {RT}{p}}.}$

Integrierte Form

Betrachtet man die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant über einen kleinen Temperaturbereich (${\displaystyle T_{1}}$ bis ${\displaystyle T_{2}}$), so kann die Clausius-Clapeyron-Gleichung über diesen Temperaturbereich integriert werden. Dann gilt:

${\displaystyle \ln {\frac {p_{2}}{p_{1}}}={\frac {\Delta _{\mathrm {vap} }H}{R}}\cdot \left({\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}\right)}$

mit

• dem bekannten Sättigungsdampfdruck ${\displaystyle p_{1}}$ und der Temperatur ${\displaystyle T_{1}}$ des Ausgangszustands,
• dem Druck ${\displaystyle p_{2}}$ und der Temperatur ${\displaystyle T_{2}}$ des zu berechnenden Zustands.

Weblinks

• Video: Dampfdruck von reinen Stoffen nach Clausius-Clapeyron – Wie wohl fühlt sich eine Komponente in einer Phase?. Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/15670.

Literatur

• M.K. Yau, R.R. Rogers: Short Course in Cloud Physics, Third Edition, Butterworth-Heinemann, Januar 1989, 304 Seiten. ISBN 0-7506-3215-1.
• Gerd Wedler: Lehrbuch der Physikalischen Chemie: Fünfte, vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, August 2004, 1102 Seiten. ISBN 3527310665