Cesàro-Mittel

Als Cesàro-Mittel oder Cesàro-Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten Folgengliedern gebildeten arithmetischen Mittel bezeichnet. Wenn diese für wachsende konvergieren, spricht man von Cesàro-Konvergenz. Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesàro-Summe. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück und ermöglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs. Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und Fourier-Analysis von Bedeutung.

Definition

Zu einer gegebenen Zahlenfolge bildet man die arithmetische Mittel über die ersten Folgenglieder, also

Man bezeichnet dann als das -te Cesàro-Mittel beziehungsweise die Folge als Folge der Cesàro-Mittel.

Konvergiert die Folge gegen einen Wert , so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel gegen , das heißt, aus folgt oder ausgeschrieben . Die Folge der Cesàro-Mittel kann jedoch auch konvergieren, ohne dass die Ausgangsfolge konvergiert.

Ein Beispiel hierfür ist die alternierende Folge , sie selbst ist divergent, aber die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert gegen 0.

Damit h​at man e​ine Erweiterung d​es normalen Konvergenzbegriffes für Folgen u​nd bezeichnet e​ine Folge dementsprechend a​ls Cesàro-konvergent, w​enn die Folge i​hrer Cesàro-Mittel konvergiert.

Spezialfall Reihen

Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe. Zu einer Folge sind die Partialsummen der Reihe definiert als:

Zu dieser Folge bildet man nun die Cesàro-Mittel . Konvergieren diese, das heißt , so bezeichnet man die Reihe Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder -summierbar zum Wert und schreibt . Den Grenzwert nennt man Cesàro-Summe und auch die Ausgangsfolge wird dann als Cesàro-summierbar oder -summierbar zum Wert bezeichnet.

Bildet man zu der obigen Beispielfolge mit die zugehörige Reihe , dann erhält erhält man die folgenden Partialsummen:

Die Cesàro-Mittel über d​ie Folge dieser Partialsummen lauten dann:

Es gilt und damit . Diese Reihe wird auch als Grandi-Reihe bezeichnet.

Terminologie

Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt, sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder -summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkreit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe entspricht.

Anwendungen

Die Anwendung d​es Cesàro-Mittels a​uf den Dirichlet-Kern i​n der Fourier-Analysis führt z​um Fejér-Kern u​nd dem Satz v​on Fejér, d​er das Konvergenzverhalten v​on Fourier-Reihen beschreibt. In d​er Theorie d​er divergenten Reihen lässt s​ich mit Hilfe d​er Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen e​in Grenzwert i​m Sinne d​er Cesàro-Konvergenz zuordnen.

Literatur

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 155
  • Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S. 459
  • Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304
  • Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
  • Carl L. DeVito: Harmonic Analysis: A Gentle Introduction. Jones & Bartlett, 2007, ISBN 9780763738938, S. 43
  • Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94–118, insbesondere S. 96


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