Cesàro-Mittel
Als Cesàro-Mittel oder Cesàro-Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten Folgengliedern gebildeten arithmetischen Mittel bezeichnet. Wenn diese für wachsende konvergieren, spricht man von Cesàro-Konvergenz. Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesàro-Summe. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück und ermöglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs. Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und Fourier-Analysis von Bedeutung.
Definition
Zu einer gegebenen Zahlenfolge bildet man die arithmetische Mittel über die ersten Folgenglieder, also
Man bezeichnet dann als das -te Cesàro-Mittel beziehungsweise die Folge als Folge der Cesàro-Mittel.
Konvergiert die Folge gegen einen Wert , so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel gegen , das heißt, aus folgt oder ausgeschrieben . Die Folge der Cesàro-Mittel kann jedoch auch konvergieren, ohne dass die Ausgangsfolge konvergiert.
Ein Beispiel hierfür ist die alternierende Folge , sie selbst ist divergent, aber die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert gegen 0.
Damit hat man eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffes für Folgen und bezeichnet eine Folge dementsprechend als Cesàro-konvergent, wenn die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert.
Spezialfall Reihen
Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe. Zu einer Folge sind die Partialsummen der Reihe definiert als:
Zu dieser Folge bildet man nun die Cesàro-Mittel . Konvergieren diese, das heißt , so bezeichnet man die Reihe Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder -summierbar zum Wert und schreibt . Den Grenzwert nennt man Cesàro-Summe und auch die Ausgangsfolge wird dann als Cesàro-summierbar oder -summierbar zum Wert bezeichnet.
Bildet man zu der obigen Beispielfolge mit die zugehörige Reihe , dann erhält erhält man die folgenden Partialsummen:
Die Cesàro-Mittel über die Folge dieser Partialsummen lauten dann:
Es gilt und damit . Diese Reihe wird auch als Grandi-Reihe bezeichnet.
Terminologie
Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt, sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder -summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkreit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe entspricht.
Anwendungen
Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kern in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.
Literatur
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 155
- Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S. 459
- Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304
- Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
- Carl L. DeVito: Harmonic Analysis: A Gentle Introduction. Jones & Bartlett, 2007, ISBN 9780763738938, S. 43
- Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94–118, insbesondere S. 96
Weblinks
- Timo Weidl: Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro – Teil eines Analysis II Skripts (Uni Stuttgart)
- Richard Hensh: Infinite Series – Vorlesungsmaterialen (Michigan State University), S. 11–15
- Cesaro-Mittel auf SOS Math (engl.)