Fejér-Polynome
In der Mathematik ist für eine -periodische, stetige Funktion , das heißt , das -te Fejér-Polynom definiert durch
wobei
der -te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede -periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.
Konvergenzaussagen – Satz von Fejér
Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe
wobei
die -te Partialsumme ist, indem er zeigte:
Für jede -periodische, stetige Funktion konvergiert die Folge der Fejér-Polynome gleichmäßig gegen , d. h.
Fejér-Kern
Der n-te Fejér-Kern ist definiert durch
- .
Arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns
Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns
wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über
Positiver reeller Kern
Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung
besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel
ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns.
Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen und die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen folgt.
Konvergenz in anderen Funktionenräumen
Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z. B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.
Quantitative Aussagen
Für Hölder-stetige Funktionen lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.
Gehört für ein zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen , d. h.
so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:
Literatur
- N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.
- P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
- Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53–82.
- Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80–88.
- Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.