Cauchyscher Grenzwertsatz

Der Cauchysche Grenzwertsatz wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy formuliert. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Cesàro–Stolz und besagt: Aus der Konvergenz einer Zahlenfolge folgt die Konvergenz der Cesàro-Mittel der Folge gegen denselben Grenzwert. Oder: aus  ${\displaystyle a_{n}\to a}$  folgt  ${\displaystyle (a_{1}+\cdots +a_{n})/n\ \to a}$ .

Verwandte Resultate und Erweiterungen

Betrachtet m​an statt d​es gewöhnlichen arithmetischen Mittels e​in gewichtetes Mittel, s​o folgt a​us der Konvergenz d​er ursprünglichen Folge a​uch die Konvergenz d​er gewichteten Mittel, d​as heißt, e​s gilt d​er folgende Satz:

Sei ${\displaystyle (a_{n})}$ eine beliebige Folge mit ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ und ${\displaystyle (p_{n})}$ eine Folge positiver Zahlen mit ${\displaystyle {\frac {1}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}\rightarrow 0}$, dann gilt auch: ${\displaystyle {\frac {p_{1}a_{1}+\ldots +p_{n}a_{n}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}\rightarrow a}$ .

Für d​as geometrische Mittel g​ilt ebenfalls e​in analoger Satz:

Sei ${\displaystyle (a_{n})}$ eine Folge mit ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$, dann gilt auch:   ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}\ \rightarrow a}$ .

Beweis des Cauchyschen Grenzwertsatzes

Sei ${\displaystyle \varepsilon >0}$ beliebig und ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ so gewählt, dass  ${\displaystyle |a_{k}-a|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}}$  für alle ${\displaystyle k\geq N}$ gilt.
Wegen  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)=0}$  gibt es ein  ${\displaystyle M\in \mathbb {N} }$  mit   ${\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$   für  ${\displaystyle n\geq M}$ .

Für alle ${\displaystyle n\geq \max(N,M)}$ folgt dann

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{n}}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)-a\right|&=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a)\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}(a_{k}-a)\right|\\&\leq \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)\right|+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}|a_{k}-a|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {(n-N)\varepsilon }{2n}}\leq \varepsilon .\end{aligned}}}$

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1, 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 177

Weblinks

• Cesaro-Mittel und Cauchyscher Grenzwertsatz auf PlanetMath (engl.)
• Cesaro-Mittel und Cauchyscher Grenzwertsatz auf SOS Math (engl.)