Brans-Dicke-Theorie

Die Brans-Dicke-Theorie (manchmal a​uch als Jordan-Brans-Dicke-Theorie bezeichnet) i​st eine klassische Feldtheorie u​nd eine d​er einfachsten Erweiterungen d​er Allgemeinen Relativitätstheorie (ART). Sie w​urde 1961 v​on Robert Henry Dicke u​nd Carl H. Brans entwickelt,[1] w​obei sie frühere Arbeiten v​on Pascual Jordan benutzten. Sie i​st der bekannteste u​nd einfachste Vertreter d​er Skalar-Tensor-Theorien d​er Gravitation, i​n denen d​ie Raumzeitkrümmung v​on der Metrik d​er ART u​nd zusätzlichen Skalarfeldern generiert wird.

Die Theorie enthält einen freien Parameter ${\displaystyle \omega }$, über den die Skalarfelder an die Krümmung koppeln. Für ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty }$ nähert sich die Brans-Dicke-Theorie der ART bis zur Ununterscheidbarkeit an, so dass sie prinzipiell nicht von Experimenten falsifiziert werden kann. Präzisionsmessungen während der Cassini-Huygens-Mission haben jedoch den erlaubten Bereich auf ${\displaystyle \omega >40\,000}$ verschoben,[2] was gegenüber den vorherigen stärksten Ergebnissen ein großer Schritt ist.

Brans u​nd Dicke entwickelten d​as Modell auch, u​m eine Alternative z​ur Allgemeinen Relativitätstheorie z​u haben, i​n der d​as Machsche Prinzip realisiert i​st (das Skalarfeld w​ird über d​ie Massen i​m Universum bestimmt).

Als metrische Gravitationstheorie erfüllt s​ie das Äquivalenzprinzip u​nd sagt deshalb genauso w​ie die ART e​ine gravitative Rotverschiebung voraus.

Definition

Die Wirkung ${\displaystyle S}$ der Brans-Dicke-Theorie lautet:

${\displaystyle S={\frac {1}{16\,\pi }}\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left(\phi \,R-\omega \,\phi ^{-1}\partial _{\mu }\phi \,\partial ^{\mu }\phi \right)+S_{\mathrm {M} }}$

Hierbei ist

• g die Metrik
• R die Spur des Ricci-Tensors
• ${\displaystyle \omega }$ ein dimensionsloser Parameter
• ${\displaystyle \phi }$ ein skalares Feld
• ${\displaystyle S_{\mathrm {M} }}$ die Wirkung der Materiefelder, die als unabhängig von ${\displaystyle \phi }$ angenommen wird.

Im Unterschied z​ur ART, d​eren Wirkung gegeben i​st durch:

${\displaystyle S_{\text{ART}}={\frac {1}{16\,\pi }}\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,R+S_{\mathrm {M} }}$

existiert das zusätzliche skalare Feld ${\displaystyle \phi }$.

Dies führt z​u modifizierten Bewegungsgleichungen:

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\,\pi }{3+2\,\omega }}\,T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\mathrm {ab} }&:=R_{\mathrm {ab} }-{\frac {1}{2}}R\,g_{\mathrm {ab} }\\&\;={\frac {8\,\pi }{\phi }}\,T_{\mathrm {ab} }+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}\left(\partial _{a}\phi \,\partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}\,g_{\mathrm {ab} }\partial _{c}\phi \,\partial ^{c}\phi \right)+{\frac {1}{\phi }}\,\left(\nabla _{a}\,\nabla _{b}\,\phi -g_{\mathrm {ab} }\,\Box \phi \right)\end{aligned}}}$

mit

• ${\displaystyle G_{ab}}$ ist der Einstein-Tensor, eine Art mittlere Krümmung
• ${\displaystyle \Box }$ der Laplace–Beltrami-Operator
• ${\displaystyle R_{ab}}$ der Ricci-Tensor
• ${\displaystyle T_{\mathrm {ab} }}$ der Energie-Impuls-Tensor
• T seine Spur.

Laut der ersten Gleichung stellt T eine Quelle für das Skalarfeld ${\displaystyle \phi }$ dar, welches, wie in der zweiten Gleichung ersichtlich, zur Krümmung beiträgt. Dies unterscheidet die Theorie von der ART, deren Bewegungsgleichungen gegeben sind durch:

${\displaystyle G_{\mathrm {ab,ART} }=8\,\pi \,T_{\mathrm {ab} }}$

Diese Modifikation führt zu veränderten Vorhersagen für bestimmte Gravitationseffekte, wie z. B. die Lichtablenkung durch massive Körper oder die Periheldrehung der Planeten. Durch Experimente konnten daher die erlaubten Werte für die Kopplungskonstante ${\displaystyle \omega }$, die als freier Parameter gewählt werden kann und die die Größe der Abweichungen zu den Vorhersagen der ART kontrolliert, stark in Richtung immer geringerer Abweichungen zur ART eingeschränkt werden.

Literatur

• Pascual Jordan: Schwerkraft und Weltall. Vieweg, Braunschweig 1955
• C. H. Brans: The roots of scalar-tensor theory: an approximate history. arxiv:gr-qc/0506063
• C. Misner, K. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0 (speziell Kasten 39.1)

Einzelnachweise

1. Carl Brans, Robert H. Dicke: Mach’s Principle and a Relativistic Theory of Gravitation. In: Physical Review. Band 124, S. 925–935, doi:10.1103/PhysRev.124.925.
2. Clifford M. Will: The Confrontation between General Relativity and Experiment. In: Living Rev. Relativity, 9, 2006, relativity.livingreviews.org (Memento des Originals vom 13. Juni 2007 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.