Bolzanofunktion

Die Bolzanofunktion i​st historisch d​ie erste Konstruktion e​iner Funktion, d​ie zwar stetig, a​ber nirgends differenzierbar ist. Sie i​st nach i​hrem Entdecker Bernard Bolzano benannt, s​ie wurde v​on ihm u​m 1830 gefunden u​nd in seinem Manuskript Functionenlehre präsentiert (das a​ber erst 1930 veröffentlicht wurde).[1]

Bernard Bolzano

Bekannt w​urde die Möglichkeit d​er Existenz stetiger, a​ber nirgends differenzierbarer Funktionen d​urch Karl Weierstraß (Vortrag v​or der Berliner Akademie 1872), w​as damals a​uf viele schockierend wirkte. Weierstraß’ Beispielfunktion w​urde durch Paul Du Bois-Reymond 1875 veröffentlicht. Auch Bernhard Riemann präsentierte e​ine solche 1861 i​n seinen Vorlesungen, u​nd seitdem wurden v​iele weitere konstruiert.

Definition

Die Bolzanofunktion i​st als d​er Grenzwert e​iner Funktionenfolge definiert. Ferner k​ann man Definitionsbereich u​nd Bildmenge a​ls beliebige abgeschlossene Intervalle reeller Zahlen auswählen.

Sei also ${\displaystyle [a,b]}$ der gewünschte Definitionsbereich und ${\displaystyle [A,B]}$ die gewünschte Bildmenge.

Transformation eines linearen Stückes von ${\displaystyle B_{k-1}}$ (gestrichelt) zu einem Bestandteil von ${\displaystyle B_{k}}$(durchgezogen)

${\displaystyle B_{1}}$ wird als lineare Funktion mit den Eckpunkten ${\displaystyle B_{1}(a)=A}$, ${\displaystyle B_{1}(b)=B}$ definiert:

${\displaystyle B_{1}(x):=A+{\frac {B-A}{b-a}}(x-a)}$

${\displaystyle B_{2}}$ wird als stückweise lineare Funktion auf vier Intervallen definiert, mit den folgenden fünf Eckpunkten:

1. ${\displaystyle B_{2}(a)=A}$
2. ${\displaystyle B_{2}\left(a+{\frac {3}{8}}(b-a)\right)=A+{\frac {5}{8}}(B-A)}$
3. ${\displaystyle B_{2}\left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)=A+{\frac {1}{2}}(B-A)}$
4. ${\displaystyle B_{2}\left(a+{\frac {7}{8}}(b-a)\right)=B+{\frac {1}{8}}(B-A)}$
5. ${\displaystyle B_{2}(b)=B}$

${\displaystyle B_{3}}$ wird als lineare Funktion definiert, indem man jedes lineare Stück von ${\displaystyle B_{2}}$ so transformiert, wie man ${\displaystyle B_{1}}$ zu ${\displaystyle B_{2}}$ transformiert hat, indem man neue Werte für ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ einsetzt, sodass ${\displaystyle (a,A)}$ und ${\displaystyle (b,B)}$ den Eckpunkten des linearen Stückes entsprechen.

${\displaystyle B_{k}}$ definiert man für ein beliebiges ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,k\geq 2}$, indem man jedes lineare Stück von ${\displaystyle B_{k-1}}$ so transformiert, wie man ${\displaystyle B_{1}}$ zu ${\displaystyle B_{2}}$ transformiert hat, indem man neue Werte für ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ einsetzt, sodass ${\displaystyle (a,A)}$ und ${\displaystyle (b,B)}$ den Eckpunkten des linearen Stückes entsprechen.

Die Bolzanofunktion ${\displaystyle B}$ ist der punktweise Grenzwert dieser Funktionenfolge: ${\displaystyle B(x)=\lim _{k\to \infty }B_{k}(x)}$.

Quellen

• B. Bolzano: Functionenlehre. Herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von Karel Rychlik. In: Bernard Bolzanos Schriften, herausgegeben von der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften, Bd. 1, Prag 1930.
• Johan Thim: Continuous Nowhere Differentiable Functions. (pdf; 650 kB) Masterarbeit, Luleå University of Technology. Oktober 2003, S. 11–17, abgerufen am 16. September 2013 (englisch).

Einzelnachweise

1. Hans Wußing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik, Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979, S, 225/6