Bedingte Unabhängigkeit

Die bedingte Unabhängigkeit i​st in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie e​ine mathematische Verallgemeinerung d​er stochastischen Unabhängigkeit v​on Ereignissen, Mengensystemen u​nd Zufallsvariablen mittels d​er bedingten Wahrscheinlichkeit u​nd des bedingten Erwartungswertes. Die bedingte Unabhängigkeit findet beispielsweise Anwendung b​ei Aussagen über austauschbare Familien v​on Zufallsvariablen.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$, sowie eine Unter-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ von ${\displaystyle \Sigma }$. Sei ${\displaystyle P(\cdot |{\mathcal {A}})}$ die bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Eine Familie von Teil-σ-Algebren ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{i})_{i\in I}}$ von ${\displaystyle \Sigma }$ heißt bedingt unabhängig gegeben ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, wenn für jede endliche Teilmenge ${\displaystyle J}$ von ${\displaystyle I}$ und jede beliebige Wahl von ${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}}$ mit ${\displaystyle j\in J}$ gilt, dass

${\displaystyle P\left(\bigcap _{j\in J}A_{j}|{\mathcal {A}}\right)=\prod _{j\in J}P(A_{j}|{\mathcal {A}})}$.

Aufgrund d​er Eigenschaften d​er bedingten Wahrscheinlichkeit i​st die Identität a​ls P-fast sicher z​u verstehen.

Eine Familie von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ heißt bedingt unabhängig gegeben ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, wenn die Familie der erzeugten σ-Algebren ${\displaystyle (\sigma (X_{i}))_{i\in I}}$ bedingt unabhängig gegeben ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist.

Bemerkungen und Eigenschaften

• Angelehnt an die Formulierung "unabhängig identisch verteilt" definiert man mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit eine Familie von Zufallsvariablen als unabhängig identisch verteilt gegeben ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, wenn die Familie unabhängig gegeben ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist und die bedingten Verteilungen ${\displaystyle P(\{X_{i}\in \cdot \}|{\mathcal {A}})}$ alle gleich sind.
• Beispielsweise ist jede Familie von Teil-σ-Algebren von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ immer unabhängig gegeben ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, genauso wie jede unabhängige Familie von σ-Algebren (im Sinne der Unabhängigkeit eines Mengensystems) immer unabhängig gegeben die triviale σ-Algebra ${\displaystyle \{\emptyset ,\Omega \}}$ ist.

Elementare bedingte Unabhängigkeit für Ereignisse

Zwei Ereignisse ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind bedingt (stochastisch) unabhängig gegeben ${\displaystyle C}$ für ein Ereignis ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle P(C)>0}$, genau dann, wenn

${\displaystyle P(A\cap B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)\;.}$

Im Fall ${\displaystyle P(B)>0}$ folgt

${\displaystyle P(A\mid B\cap C)=P(A\mid C)\;.}$

Im Fall ${\displaystyle P(A)>0}$ folgt

${\displaystyle P(B\mid A\cap C)=P(B\mid C)\;.}$

Eine d​er beiden letzten Gleichungen w​ird manchmal a​uch zur Definition d​er bedingten Unabhängigkeit v​on Ereignissen verwendet. Für positive Wahrscheinlichkeiten s​ind die d​rei Gleichungen äquivalent.

Eine übliche Notation ist ${\displaystyle A\perp \!\!\!\perp B\mid C}$, wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bedingt unabhängig gegeben ${\displaystyle C}$ sind. Diese Notation ist als ${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B)\mid C}$ zu verstehen, aber nicht als ${\displaystyle A\perp \!\!\!\perp (B\mid C)}$.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.