Baryzentrum

Mit Baryzentrum (von altgriechisch βαρύς barýs, deutsch ‚schwer von Gewicht, lastend‘,[1] auch Massenmittelpunkt) bezeichnet man in der Geometrie den gewichteten Schwerpunkt (genauer: Massenmittelpunkt) mehrerer (Punkt-)Massen,[2] in dem nach dem Schwerpunktsatz die Trägheitskraft „angreift“. In der Himmelsmechanik sind die Gewichtungsfaktoren der Punkte ihre Massen bzw. im Fall kontinuierlicher Massenverteilung ihre Dichten.

In einem homogenen äußeren Gravitationsfeld ist das Baryzentrum auch das Gravizentrum, d. h. der mittlere Angriffspunkt der auf die Punkte wirkenden äußeren Kräfte. Im inhomogenen Feld sind Baryzentrum und Gravizentrum nicht mehr identisch, in diesem Fall kann ein Drehmoment entstehen.

Das gemeinsame Gravitationsfeld kugelsymmetrischer Massenverteilungen wirkt so, als wäre die ganze Masse im Baryzentrum konzentriert, siehe Newtonsches Schalentheorem oder Birkhoff-Theorem. Für andere Massenverteilungen wie die folgenden Mehrkörpersysteme gilt das nur in großer Entfernung näherungsweise.

Baryzentrum im Zweikörpersystem

Zwei Körper kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt.

Aufgrund der Linearität der Mittelwertbildung darf man das Baryzentrum mehrerer Körper als das mit ihrer Masse gewichtete Mittel ihrer jeweiligen Baryzentren berechnen. Für ein System aus zwei kugelsymmetrischen Körpern ergibt sich, dass das gemeinsame Baryzentrum auf der Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte liegt, mit folgendem Abstand vom Mittelpunkt 1:

r_{1}=r_{\mathrm {tot} }{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

Die Variablen sind:

r_{1}

— die Entfernung des Baryzentrums vom Mittelpunkt des Körpers 1

r_{\mathrm {tot} }

— die Entfernung der beiden Körpermittelpunkte voneinander

m_{1}

und

m_{2}

— die Massen der beiden Körper.

Beispiele

Erde und Mond

Für Erde und Mond liegt das Baryzentrum knapp innerhalb der Erde, siehe Erde-Mond-Schwerpunkt.

Pluto und Charon

Bahnen im Plutosystem

Das Baryzentrum des Pluto-Charon-Systems liegt durch das relativ kleine Massenverhältnis von ca. 8/1 ca. 1200 km über Plutos Oberfläche. Dieses wird von Charon und von Pluto umkreist.

Sonnensystem

Die Lage des Baryzentrums des Sonnensystems hängt vor allem von der Stellung des Jupiters und des Saturns zueinander ab, siehe große Konjunktion. Die beiden Riesenplaneten besitzen 0,10 bzw. 0,03 Prozent der Masse der Sonne, sodass sie das Baryzentrum um diesen Bruchteil ihrer Bahnhalbachsen beeinflussen (um ca. 740.000 und 410.000 km). Da der Sonnenradius 696.000 km beträgt, liegt das Baryzentrum mal innerhalb, mal außerhalb der Sonnenoberfläche, maximal 2,098 Sonnenradien vom Sonnenmittelpunkt entfernt.[3]

Das Baryzentrum des Sonnensystems ist nicht nur der geometrische Ursprung des baryzentrischen ekliptikalen Koordinatensystems, sondern auch der Ort für eine virtuelle Atomuhr, die die Temps atomique barymetrique (TAB) definiert, siehe gravitative Zeitdilatation.

Baryzentrische Koordinaten

In einem homogenen Gravitationsfeld oder ohne äußere Kräfte gilt: Ein nicht rotierendes Bezugssystem, in dem das Baryzentrum ruht, ist ein Inertialsystem, also besonders geeignet für die Beschreibung der Dynamik des Systems, siehe Baryzentrische Koordinaten. So wird in vielen Erdmodellen, z. B. WGS 84, das Baryzentrum der Erde als Nullpunkt der Koordinaten gewählt.

Einzelnachweise

Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck, Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914. 1914, abgerufen am 28. Juli 2020.
Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht. 4., überarbeitete Auflage, Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, doi:10.1007/978-3-658-06731-1, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
Jean Meeus: Mathematical astronomy morsels. Richmond, Va. 2009, ISBN 978-0-943396-92-7, S. 165.

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[1] Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck, Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914. 1914, abgerufen am 28. Juli 2020.

[2] Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht. 4., überarbeitete Auflage, Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, doi:10.1007/978-3-658-06731-1, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.

[3] Jean Meeus: Mathematical astronomy morsels. Richmond, Va. 2009, ISBN 978-0-943396-92-7, S. 165.