Baire-Raum (allgemein)

Ein Baire-Raum, a​uch Baire’scher Raum genannt, i​st ein spezieller topologischer Raum i​n der Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Baire-Räume s​ind nach René Louis Baire benannt u​nd besitzen gewisse Regularitätseigenschaften. So s​ind sie a​us topologischer Sicht groß i​n dem Sinne, d​ass sie n​icht mager s​ind und demnach n​icht als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen geschrieben werden können.

In Baire-Räumen gelten v​iele weitreichende Implikationen, insbesondere für d​ie Funktionalanalysis. So lassen s​ich der Satz v​on Banach-Steinhaus, d​as Prinzip d​er gleichmäßigen Beschränktheit u​nd der Satz über d​ie offene Abbildung a​us der Tatsache ableiten, d​ass jeder vollständige metrische Raum e​in Baire-Raum ist.[1]

Definition

Gegeben sei ein topologischer Raum ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$. Eine Menge heißt nirgends dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist. Des Weiteren heißt eine Menge mager, wenn sie die Vereinigung von abzählbar vielen nirgends dichten Mengen ist.

Der topologische Raum ${\displaystyle X}$ heißt nun ein Baire-Raum, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:[2]

(a) Das Komplement jeder mageren Menge ist dicht in ${\displaystyle X}$.

(b) Eine nichtleere offene Teilmenge von ${\displaystyle X}$ ist niemals mager.

(c) Jede Vereinigung von höchstens abzählbar vielen abgeschlossenen Teilmengen von ${\displaystyle X}$ ohne innere Punkte ist ihrerseits ohne innere Punkte.

(d) Jeder Schnitt von höchstens abzählbar vielen offenen, in ${\displaystyle X}$ dichten Teilmengen ist wieder dicht in ${\displaystyle X}$.

Es existieren a​uch abweichende Benennungen. So werden Komplemente v​on mageren Mengen a​uch komagere Mengen genannt, magere Mengen a​uch als Mengen erster Kategorie u​nd nicht magere Mengen a​ls Mengen zweiter Kategorie bezeichnet.

Beispiele und Eigenschaften

• Jeder vollständig metrisierbare Raum und damit auch jeder polnische Raum ist ein Baire-Raum. Die meisten Autoren nennen diese Aussage den Satz von Baire.[1][3] Insbesondere ist der spezielle Baire-Raum ℕ^ℕ ein Baire-Raum.
• Ebenso ist jeder lokalkompakte Hausdorff-Raum ein Baire-Raum. Auch diese Aussage wird von manchen Autoren als Satz von Baire bezeichnet oder diesem subsumiert.[2][4]
• Jede nicht-leere, offene Menge eines Baire-Raumes, versehen mit der Teilraumtopologie, ist wieder ein Baire-Raum. Ebenso ist in einem kompakten Hausdorff-Raum jede G_δ-Menge wieder ein Baire-Raum.[2][5]
• Nach dem Kategoriensatz von Banach ist sogar bis auf eine magere Menge jeder topologische Raum ein Baire-Raum.[6] Außerdem ist in einem (nicht leeren) Baire-Raum das Komplement jeder mageren Menge wieder ein Baire-Raum.
• Existiert in einem nicht leeren Baire-Raum eine abzählbare Überdeckung dieses Raumes mit abgeschlossenen Mengen, so besitzt mindestens eine dieser Mengen ein nicht-leeres Inneres. Diese Aussage bildet die Grundlage für den Beweis des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit.

Siehe auch

• Baire-Raum (speziell)
• Satz von Baire

Literatur

• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X, S. 189 ff. (MR2172813).
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 132 ff. (MR0423277).
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970, S. 185 ff. (MR0264581).

Weblinks

• P.S. Aleksandrov: Baire space. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Baire Space. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 229–333, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
2. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1, S. 174–176, doi:10.1007/978-3-642-56860-2.
3. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg / Dordrecht / London / New York 2011, ISBN 978-3-642-21016-7, S. 139, doi:10.1007/978-3-642-21017-4.
4. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 134
5. Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 186
6. John C. Oxtoby: Measure and Category. A Survey of the Analogies between topological and measure Spaces (= Graduate Texts in Mathematics. 2). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1980, ISBN 3-540-90508-1, S. 62