Autokorrelator

Ein Autokorrelator i​st ein Gerät z​ur Bestimmung d​er Autokorrelationsfunktion e​ines Eingangssignals. Zu d​en wichtigsten Realisierungen e​ines solchen Gerätes zählen d​er optische Autokorrelator, d​er es erlaubt d​ie Dauer v​on ultrakurzen Lichtimpulsen z​u bestimmen. Es g​ibt aber a​uch Realisierungen i​n digitaler Elektronik, d​ie z. B. d​azu eingesetzt werden i​n der Fluoreszenz-Korrelations-Spektroskopie o​der der Dynamischen Lichtstreuung d​ie Dynamik diffundierender Teilchen z​u vermessen.

Allgemeine Beschreibung

Ein Autokorrelator berechnet a​us einem Eingangssignal I(t) dessen Autokorrelationsfunktion

${\displaystyle G(\tau )=\langle I(t)\cdot I(t+\tau )\rangle$ :=\lim \limits _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}I(t)\cdot I(t+\tau )\;\mathrm {d} t}

Diese gibt Aufschluss über die Selbstähnlichkeit des Signals I(t) mit einer Verzögerung τ und erlaubt es so auch solche Signale zu analysieren, die im Rauschen verborgen (z. B. in der Fluoreszenz-Korrelations-Spektroskopie, da für die Autokorrelationsfunktion von weißem Rauschen gilt ${\displaystyle g(\tau )\propto \delta (\tau )}$), oder zu schnell für eine normale Detektion (siehe Optischer Autokorrelator) sind.

Optischer Autokorrelator

Hintergrund

Eine zeitliche Auflösung eines Lichtimpulses im Piko- oder Femtosekundenbereich ist mit Photodioden nicht möglich, da die Geschwindigkeit einer Photodiode durch die Rekombinationszeit der Elektron-Loch-Paare begrenzt wird, welche typischerweise größer als 100 Pikosekunden ist. Um einen Lichtimpuls zeitlich aufzulösen braucht man also Referenzprozesse, die kürzer als das zu messende Ereignis sind. Dies ist nur mit optischen Methoden möglich. In einem Autokorrelator wird der Impuls „mit sich selbst“ als Referenz gemessen.

Aufbau und Funktionsweise

Schematischer Aufbau eines Autokorrelators. BS: Strahlteiler, M1 und M2: Spiegel, M2 ist auf einer variablen Verzögerungsstrecke montiert, NC: Nichtlinearer Kristall zur Erzeugung der zweiten Harmonischen (SHG) (z. B. BBO), F: Filter der nur das frequenzverdoppelte Licht transmittiert, D: Detektor. rotes Signal ist Eingangssignal; blaues Signal entspricht detektiertes Signal

Das nebenstehende Bild z​eigt eine mögliche Realisierung e​ines Autokorrelators. Er stellt i​m Prinzip e​in Michelson-Interferometer dar. Der einfallende Impuls w​ird zunächst i​n einem Strahlteiler i​n zwei Teile aufgespalten. Diese durchlaufen unabhängig voneinander unterschiedliche Wege u​nd werden anschließend i​m Strahlteiler wieder zusammengeführt. Die vereinigten Impulse treffen a​uf einen nichtlinearen Kristall (z. B. BBO) i​n dem d​ie Frequenzverdoppelte (zweite Harmonische) d​es einfallenden Lichtes erzeugt wird. Die Konversionseffizienz, a​lso die Intensität d​er zweiten Harmonischen, hängt v​on der Intensität d​es Lichtes i​m Kristall ab. Diese hängt wiederum v​om zeitlichen Versatz zwischen d​en beiden Impulsen ab. Dieser Versatz w​ird durch e​inen Spiegel, d​er auf e​iner variablen Verzögerungsstrecke befestigt i​st (in d​er Abbildung M2), eingestellt. Durch Messung d​er Intensität d​es frequenzverdoppelten Lichtes i​n Abhängigkeit v​om zeitlichen Versatz w​ird somit d​ie Autokorrelation d​es einfallenden Impulses gemessen. Hieraus lässt s​ich unter Annahme d​er zugrundeliegenden Impulsform d​ie Dauer bestimmen.

Mathematische Beschreibung

Ein Impuls mit der zeitlichen Intensitätsverteilung ${\displaystyle I(t)}$ wird zunächst in 2 Impulse aufgespalten, und wieder vereint. Da die Impulse unterschiedliche Wege durchlaufen, besitzen sie eine zeitliche Verzögerung ${\displaystyle \tau }$ zueinander:

${\displaystyle E_{\mathrm {ges} }(t)=E(t)+E(t-\tau )}$.

Für die Intensität des frequenzverdoppelten Lichtes ${\displaystyle I_{\mathrm {SH} }}$ im nichtlinearen Kristall gilt:

${\displaystyle I_{\mathrm {SH} }(2\omega ,t,\tau )\propto \left[I_{1}(t)+I_{1}(t-\tau )\right]^{2}}$ wobei ${\displaystyle I_{1}\propto \left|E_{1}\right|^{2}}$ ist.

Der Detektor misst nun den zeitlichen Mittelwert der 2. Harmonischen ${\displaystyle S}$, da seine Zeitkonstante ${\displaystyle T}$ viel größer als die Pulsdauer ist:

${\displaystyle S(\tau )\propto {\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}I_{\mathrm {SH} }(t,\tau )\mathrm {d} t}$.

In e​inen Autokorrelator m​it einem n​icht interferierenden Strahlengang ergibt sich:

${\displaystyle S(\tau )\propto \,\langle I^{2}\rangle +\langle I^{2}\rangle +4\langle I(t)I(t-\tau )\rangle }$.

Hierbei bedeuten die spitzen Klammern ⟨·⟩ den zeitlichen Mittelwert. Der letzte Summand stellt gerade die Autokorrelationsfunktion der zeitlichen Intensitätsverteilung des zu messenden Impulses dar. Unter Annahme der Impulsform lässt sich nun seine Dauer berechnen.

Würde der Puls nach der Überlagerung nicht in der Lichtfrequenz verdoppelt, so würde der Detektor ein Signal, das unabhängig von der zeitlichen Verzögerung ${\displaystyle \tau }$ ist, messen. Man gewinnt damit also keine Informationen über die Intensität des Pulses. Kann im Gegensatz zu einem Autokorrelator der Verzögerungsweg sehr fein, langsam und reproduzierbar verstellt werden, wie z. B. bei einem FTIR-Spektrometer, ist Lichtfrequenzverdoppelung nicht notwendig und aus dem resultierenden Interferogramm lässt sich die Pulsdauer ebenfalls bestimmen.

Elektronischer Autokorrelator

Linearer Korrelator

Schematischer Aufbau eines digital-elektronischen linearen Korrelators

Ein elektronischer Autokorrelator berechnet aus einem analogen oder digitalen Eingangssignal I(t) dessen Autokorrelationsfunktion. In vielen Bereichen werden die Eingangssignale heute digitalisiert und dann mit einem sog. linearen oder Multi-τ-Autokorrelator weiterverarbeitet. Der grundsätzliche Aufbau eines linearen Autokorrelators ist rechts gezeigt. Das Eingangssignal wird um diskrete Schritte ${\displaystyle \tau _{k}=k\cdot \tau _{\text{min}}=\tau _{\text{min}},2\tau _{\text{min}},3\tau _{\text{min}},...}$ (${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$) verzögert und mit dem unverzögerten Eingangssignal multipliziert. Das Ergebnis wird aufsummiert. So wird eine diskrete Schätzung des Autokorrelationsfunktion ausgeführt:

${\displaystyle {\hat {G}}(\tau _{k})={\frac {1}{N}}\sum \limits _{n=1}^{N}I_{n}\cdot I_{n+k}}$

Dabei wird das kontinuierliche Eingangssignal in N diskrete Schritte I_n zerlegt. Die hintereinander geschalteten Verzögerungsstufen um ${\displaystyle \tau _{\text{min}}}$ können mit Hilfe eines Schieberegisters realisiert werden. Für die ersten Realisierungen und spezielle Anwendungen (z. B. hohe Geschwindigkeit) dieses Konzepts wurden spezielle Microchips (ASIC) entwickelt[1][2], spätere Realisierungen verwenden FPGAs und/oder digitale Signalprozessoren (DSPs). In den letztgenannten Architekturen sind sogenannte Multiply-Accumulate-Befehle oder Blöcke verfügbar, mit denen die Autokorrelation sehr effizient erledigt werden kann, da sie genau den rechts dargestellten Einzelschritt (zwei Zahlen multiplizieren und dann aufsummieren) realisieren.

Multi-τ Korrelator

Eine Erweiterung des linearen Korrelators stellt der sog. multi-τ-Korrelator dar[3], der mehrere lineare Stufen kombiniert. Zwischen den Stufen wird das Signal I_n über (typischerweise 2) Zeitperioden aufsummiert. Die nächste Stufe korreliert dann das Signal ${\displaystyle I_{n}'=I_{n}+I_{n-1}}$. So wird eine semi-logarithmische Verteilung der Verzögerungen τ_k erreicht und es kann mit relativ wenig Hardware-Aufwand ein großer Verzögerungsbereich abgetastet werden.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Laserspektroskopie, 5. Auflage, Springer-Verlag, 2007

Einzelnachweise

1. M. Engels, B. Hoppe, H. Meuth, and R. Peters: A single chip 200 MHz digital correlation system for laser spectroscopy with 512 correlation channels. In: ISCAS’99. Proceedings of the 1999 IEEE International Symposium on Circuits and Systems, 1999. Band 5, 1999, S. 160–163, doi:10.1109/ISCAS.1999.777535.
2. Steven B. Kaplan: Hybrid technology digital correlation spectrometers for astronomy and communications. In: Proceedings of the 22nd International Symposium on Superconductivity (ISS 2009). Band 470, Nr. 20, 2009, S. 1538–1545.
3. K. Schatzel: New concepts in correlator design. In: Inst. Phys. Conf. Ser. Band 77, 1985, S. 175–184.