Atkinson-Maß

Mit Atkinson-Maß (nach Anthony Atkinson [1944–2017]) werden e​ine Menge v​on Ungleichverteilungsmaßen bezeichnet, m​it denen beispielsweise d​ie Einkommens- o​der Vermögensungleichheit i​n einer Gesellschaft berechnet werden kann.

Ursprung/Geschichte

Der von Hugh Dalton eingeführte Dalton-Index ${\displaystyle D}$ ist nicht invariant gegenüber positiven linearen Transformationen der persönlichen Einkommenswohlfahrtsfunktionen.

Atkinson h​at 1970 versucht, d​en Index s​o neu z​u definieren, d​ass er d​ie entsprechende Invarianz aufweist.

Definition

Jedem Atkinson-Maß liegt eine konkave Nutzenfunktion zugrunde. Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert, wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt.

Üblicherweise wird eine Arrow-Wohlfahrtsfunktion verwendet, die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter ${\displaystyle \varepsilon }$ festlegt, wie groß der Wohlfahrtsunterschied eines zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Ist ${\displaystyle \varepsilon =0}$ bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.

Dieser Atkinson-Index i​st wie f​olgt definiert:

${\displaystyle A=A_{\varepsilon }=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{n})={\begin{cases}1&{\mbox{für}}\ \varepsilon =0\\1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{für}}\ \varepsilon >0\land \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)^{1/n}&{\mbox{für}}\ \varepsilon =1,\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle y_{i}}$ das individuelle Einkommen (i = 1, 2, …, N) und ${\displaystyle \mu }$ das Durchschnittseinkommen ist.

Eigenschaften

Der Atkinson-Index h​at folgende Eigenschaften:

1. Symmetrie in den Argumenten: ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$ für alle Permutationen ${\displaystyle \sigma }$.
2. Der Index liegt zwischen Null und Eins. ${\displaystyle 0\leq A_{1}\leq 1}$ und ${\displaystyle 0\leq A_{\varepsilon }\leq 1-n^{-\epsilon }<1}$ für alle ${\displaystyle \varepsilon \neq 1}$
3. Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null: ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$ gdw. ${\displaystyle y_{i}=\mu }$ für alle ${\displaystyle i}$.
4. Invarianz gegenüber Vervielfachung: Wird die Population (mehrfach) identisch repliziert, bleibt der Index gleich: ${\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}$
5. Invarianz gegenüber Inflation: Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert, bleibt der Index gleich: ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$ für alle ${\displaystyle k>0}$
6. Der Index lässt sich in Untergruppen zerlegen.[1] Es gilt

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{g,i_{g}}:i_{g}=1,\ldots ,n_{g};g=1,\ldots ,G)=\sum _{g=1}^{G}w_{g}A_{\varepsilon }(y_{g,1},\ldots ,y_{g,n_{g}})+A_{\varepsilon }(\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}$, wobei ${\displaystyle G}$ die Anzahl der Untergruppen angibt, ${\displaystyle \mu _{g}}$ das Durchschnittseinkommen der Untergruppe ${\displaystyle g}$, und die Gewichte ${\displaystyle w_{g}=f(\mu _{g},\mu ,N,N_{g})}$ für eine von der konkreten Situation unabhängige Funktion f.

Anwendung

Für den sich aus der „verallgemeinerten Entropie-Klasse“[2] mit ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ergebenden Theil-Index ${\displaystyle I_{1}}$ gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß[3] umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter Theil-Index“ auftrat.[4] Das Maß errechnet sich aus der Funktion ${\displaystyle 1-e^{-T}}$.

Siehe auch

• Champernowne-Index

Literatur

Originalaufsatz:

• Anthony B. Atkinson: On the Measurement of Inequality. In: Journal of Economic Theory. Bd. 2 (3), 1970. S. 244–263.

Zur Vertiefung:

• Yoram Amiel: Thinking about inequality. Cambridge 1999.
• Frank Alan Cowell: Measurement of Inequality. In: Anthony B. Atkinson, François Bourguignon (Hg.): Handbook of Income Distribution. Bd. 1, Amsterdam et al. 2000. S. 87–166.
• Amartya Sen, James Eric Foster: On Economic Inequality. Oxford University Press, Oxford 1996. ISBN 0-19-828193-5. (Python script mit wichtigen Formeln aus dem Buch, darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson-Indexes)

Weblinks

• Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/Indira Gandhi National Open University): Unit 11: Measures of Inequality (Memento vom 31. Januar 2012 im Internet Archive; PDF; 3,34 MB)

Einzelnachweise

1. Shorrocks, AF (1980). The class of additively decomposable inequality indices. Econometrica, 48 (3), 613-625, doi:10.2307/1913126.
2. „Generalized Entropy Class“, Janes E. Foster im Annex A.4.1 (S. 142) von Amartya Sen: On Economic Inequality. 1973/1997.
3. Anthony B. Atkinson entwickelte verschiedene Maße. Das mit dem Theil-Index verwandte Maß findet sich bei Lionnel Maugis in: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (Veröffentlichung für IFORS 96). 1996.
4. Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties (Memento vom 25. März 2009 im Internet Archive; PDF; 330 kB)