Asymptotischer Kegel

In d​er Mathematik i​st der asymptotische Kegel e​ines metrischen Raumes e​ine Konstruktion, d​ie die Idee e​ines Grenzraumes n​ach (beliebig k​lein werdender) Reskalierung d​er Metrik formalisiert u​nd damit d​en Begriff d​es Gromov-Hausdorff-Grenzwerts verallgemeinert.

Die Konstruktion hängt von der Wahl der „Skalierungskonstanten“ und eines Ultrafilters ab. Im Folgenden wird stets ein freier Ultrafilter ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ vorausgesetzt. Die Indexmenge ist in der Regel ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$. Weiters ist ${\displaystyle (\lambda _{i})_{i}}$ mit ${\displaystyle \lim _{\mathcal {F}}\lambda _{i}=\infty }$ eine fest gewählte Folge positiver Zahlen („Skalierungskonstanten“).

Ultralimes metrischer Räume

Sei ${\displaystyle \left\{(A_{i},d_{i})\right\}_{i\in I}}$ eine Folge metrischer Räume. Mittels der Äquivalenzrelation ${\displaystyle (a_{i})\sim (b_{i})\Leftrightarrow \left\{i\in I\colon a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {F}}}$ definiert man das Ultraprodukt ${\displaystyle \Pi _{i}A_{i}/\sim }$ und auf diesem eine Pseudometrik durch

${\displaystyle D(a,b)=\lim _{\mathcal {F}}d_{i}(x_{i},y_{i})}$,

d. h., ${\displaystyle D(a,b)}$ ist ein Element aus ${\displaystyle \left[0,\infty \right]}$, so dass für jede Umgebung ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle D(a,b)}$ gilt:

${\displaystyle \left\{i\in I\colon d_{i}(x_{i},y_{i})\in V\right\}\in {\mathcal {F}}}$.

Man betrachtet dann die Teilmenge des Ultraprodukts, bestehend aus den (Äquivalenzklassen von) Folgen ${\displaystyle a=(a_{i})_{i\in I}}$ mit ${\displaystyle D(a,p)<\infty }$. Auf dieser nimmt die Pseudometrik ${\displaystyle D}$ nur endliche Werte an.

Als Ultralimes ${\displaystyle \lim _{\mathcal {F}}(A_{i},d_{i},p_{i})}$ der Folge ${\displaystyle \left\{(A_{i},d_{i})\right\}_{i\in I}}$ relativ zum Beobachtungspunkt ${\displaystyle p=(p_{i})_{i\in I}}$ bezeichnet man den metrischen Raum, den man als Quotienten dieser Teilmenge unter der Äquivalenzrelation ${\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow D(a,b)=0}$ erhält. Die Pseudometrik ${\displaystyle D}$ induziert die Metrik auf dem Ultralimes.

Asymptotischer Kegel

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle x\in X}$. Dann definiert man den asymptotischen Kegel von ${\displaystyle X}$ (bezüglich des Ultrafilters und der Skalierungskonstanten) durch

${\displaystyle \operatorname {Cone} (X,d,x):=\lim _{\mathcal {F}}(X,d/\lambda _{i},x)}$.

Gelegentlich wird auch der ultrametrische asymptotische Kegel betrachtet. Dieser ist definiert als ${\displaystyle \lim _{\mathcal {F}}(X,d^{1/\lambda _{i}},x)}$.

Eigenschaften

• Wenn ${\displaystyle X}$ ein geodätischer metrischer Raum ist, dann ${\displaystyle \operatorname {Cone} (X)}$ ebenfalls.
• Wenn ${\displaystyle X}$ ein Hadamard-Raum ist, dann ${\displaystyle \operatorname {Cone} (X)}$ ebenfalls.
• Wenn ${\displaystyle X}$ ein CAT(0)-Raum ist, dann ${\displaystyle \operatorname {Cone} (X)}$ ebenfalls.
• Wenn ${\displaystyle X}$ ein CAT(κ)-Raum für ein ${\displaystyle \kappa <0}$ ist, dann ist ${\displaystyle \operatorname {Cone} (X)}$ ein metrischer Baum.
• Wenn die Bahnen der Isometriegruppe beschränkten Hausdorff-Abstand von ${\displaystyle X}$ haben, dann ist ${\displaystyle \operatorname {Cone} (X)}$ ein homogener metrischer Raum.
• Eine ${\displaystyle (L,C)}$-Quasiisometrie ${\displaystyle \phi \colon X\to Y}$ induziert eine ${\displaystyle L}$-Bilipschitz-Abbildung ${\displaystyle \operatorname {Cone} (\phi )\colon \operatorname {Cone} (X)\to \operatorname {Cone} (Y)}$.[1]

Beispiele

• Für ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ (der euklidische Raum), ist ${\displaystyle \operatorname {Cone} (\mathbb {R} ^{n})=\mathbb {R} ^{n}}$.
• Für ${\displaystyle X=\mathbb {H} ^{n}}$ (der hyperbolische Raum), ist ${\displaystyle \operatorname {Cone} (\mathbb {H} ^{n})}$ ein ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Baum.
• Für einen symmetrischen Raum nichtkompakten Typs ${\displaystyle X}$ ist ${\displaystyle \operatorname {Cone} (X)}$ ein euklidisches Gebäude.[2]

Zusammenhang mit Gromov-Hausdorff-Konvergenz

Wenn ${\displaystyle \left\{(X,d/\lambda _{i},x)\colon i\in I\right\}}$ eine in der Gromov-Hausdorff-Topologie präkompakte Familie ist, dann ist ${\displaystyle \operatorname {Cone} (X)}$ ein Häufungspunkt dieser Folge.[3] Insbesondere stimmt der Gromov-Hausdorff-Grenzwert, wenn er existiert, mit ${\displaystyle \operatorname {Cone} (X)}$ überein.

Literatur

• v. d. Dries-Wilkie: On Gromov's Theorem concerning groups of polynomial growth and elementary logic. J. Alg. 89 (1984), 349–374.
• Kleiner-Leeb: Rigidity of quasi-isometries for symmetric spaces and Euclidean buildings, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. (1997), no. 86, 115–197 (1998).

Weblinks

• Robert Young: Notes on asymptotic cones

Einzelnachweise

1. Kleiner-Leeb, op. cit.
2. Kleiner-Leeb, op. cit.
3. Kleiner-Lebb, op. cit.