Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)

Die Mathematik k​ennt eine Anzahl v​on Sätzen, welche m​it dem Namen v​on Adolf Hurwitz verknüpft sind. Der Satz v​on Hurwitz d​er Zahlentheorie betrifft d​ie sogenannte diophantische Approximation irrationaler Zahlen, a​lso die Approximation irrationaler Zahlen d​urch Bruchzahlen. Der Satz g​ibt eine Obergrenze für d​ie Güte d​er Approximation an.

Der Satz

Der Satz lässt s​ich formulieren w​ie folgt:[1]

Für jede irrationale Zahl ${\displaystyle \alpha }$ existieren unendlich viele voll gekürzte Brüche ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$, welche

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot q^{2}}}}$

erfüllen.

Im v​on Scheid[2] entwickelten Beweis d​es Satzes werden i​n entscheidender Weise Eigenschaften d​er Farey-Folgen genutzt.

Güte der Obergrenze

Die Konstante ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ist scharf, also im Allgemeinen nicht zu ersetzen durch eine bessere Konstante. Dies lässt sich nachweisen anhand der irrationalen Zahl ${\displaystyle {\mathcal {\alpha }}=(1+{\sqrt {5}})/2}$ (bekannt im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt).[3]

Für eine einzelne Zahl ${\displaystyle \alpha }$ kann es bessere Approximationen geben, z. B. für Liouville-Zahlen. Ist ${\displaystyle \alpha }$ eine algebraische Zahl, lässt sich der Exponent von ${\displaystyle q}$ nach dem Satz von Thue-Siegel-Roth aber nicht verbessern.

Verwandte Ergebnisse

• Dirichletscher Approximationssatz

Literatur

• Adolf Hurwitz: Über die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche. In: Math. Ann., 39, 1891, S. 279–284
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, ISBN 3-8274-1365-6.
• Jurjen Ferdinand Koksma: Diophantische Approximationen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1936.
• William Judson LeVeque: Fundamentals of Number Theory. Addison-Wesley, Reading MA 1977, ISBN 0-201-04287-8.

Einzelnachweise

1. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 64.
2. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 64–65.
3. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 65.