Apollonios-Gleichung

Die Apollonios-Gleichung[1] i​st ein mathematischer Lehrsatz, welcher sowohl d​em mathematischen Teilgebiet d​er Geometrie a​ls auch d​em der Funktionalanalysis zugehört. Sie w​ird dem antiken griechischen Mathematiker Apollonios v​on Perge zugerechnet u​nd behandelt e​ine grundlegende metrische Beziehung zwischen Seiten u​nd Seitenhalbierenden v​on Dreiecken. Die Gleichung i​st eng verwandt m​it der pythagoreischen Gleichung. In d​er Elementargeometrie spricht m​an im Zusammenhang m​it dieser Gleichung a​uch vom Satz v​on der Seitenhalbierenden[2] o​der vom Satz v​on Apollonios[3]. Hier ergibt s​ich aus d​er Apollonios-Gleichung i​n direkter Folgerung e​in bekannter Satz v​on Leonhard Euler.

Formulierung

Die Apollonios-Gleichung lässt s​ich formulieren w​ie folgt:[1]

Für drei Punkte ${\displaystyle x,y,z}$ eines Innenproduktraums ${\displaystyle V}$, welcher mit der aus dem inneren Produkt dieses Raums herrührenden Norm ${\displaystyle {\|\cdot \|}}$ versehen ist, gilt stets:

(AG-1)     ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|x-y\|^{2}+2\,\|z-{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|z-y\|^{2}}$.

Erläuterungen, Anmerkungen und Folgerungen

• Die Apollonios-Gleichung ist eine direkte Folgerung aus der Parallelogrammgleichung,[4] welche sich ihrerseits unmittelbar – nämlich für ${\displaystyle z=0}$ – aus der Apollonios-Gleichung ergibt.
• Ist hierbei ${\displaystyle V}$ die euklidische Ebene, versehen mit der euklidischen Norm, und liegt ein Dreieck ${\displaystyle ABC}$ vor, für welches – wie üblich – die Seitenlängen mit ${\displaystyle a,b,c}$ und die Länge der zum Punkte ${\displaystyle C}$ gehörigen Seitenhalbierenden mit ${\displaystyle s_{c}}$ benannt werden, so schreibt sich (AG-1) in der Form

(AG-2a)     ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c^{2}+2{s_{c}}^{2}=a^{2}+b^{2}}$   ,

womit sich[5] die bekannte (gleichwertige!) Formel

(AG-2b)     ${\displaystyle s_{c}={\frac {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}{2}}}$

ergibt.[6]

• Bildet man die entsprechenden Formeln für die beiden anderen Dreiecksseiten und deren Seitenhalbierenden, so gewinnt man – nach Äquivalenzumformungen – die drei Gleichungen

(AG-3a)     ${\displaystyle {s_{a}}^{2}-{s_{b}}^{2}={\frac {3}{4}}(b^{2}-a^{2})}$

(AG-3b)     ${\displaystyle {s_{b}}^{2}-{s_{c}}^{2}={\frac {3}{4}}(c^{2}-b^{2})}$

(AG-3c)     ${\displaystyle {s_{c}}^{2}-{s_{a}}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}-c^{2})}$

• Es folgt daraus unmittelbar:

(AG-F1)     ${\displaystyle {s_{a}}^{2}+{s_{b}}^{2}+{s_{c}}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$[3]

(AG-F2)     ${\displaystyle s_{a}\geq s_{b}\geq s_{c}{\text{ wenn }}a\leq b\leq c}$[3]

(AG-F3)     Ist ${\displaystyle ABC}$ speziell ein rechtwinkliges Dreieck der euklidischen Ebene und ${\displaystyle c}$ die Länge der Hypotenuse, so gilt nach dem Satz des Thales ${\displaystyle s_{c}={\tfrac {1}{2}}c}$ und damit die pythagoreische Gleichung.

Siehe auch

• Satz von Apollonios (Dreieck)
• Satz des Pythagoras
• Satz von Euler (Vierecksgeometrie)

Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht (= Studium). 4., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, doi:10.1007/978-3-658-06731-1.
• Claudi Alsina – Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik. 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Berlin – Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45461-9.
• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 12. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1972.
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.

Fußnoten und Einzelnachweise

1. J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 25
2. Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 2015, S. 77
3. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik. 2015, S. 63
4. J.Heine, op. cit., S. 551
5. Durch Auflösen der Gleichung (AG-2a) nach ${\displaystyle s_{c}}$.
6. Bronstein/Semendjajew 1972, S. 141