Admittanz

Die Admittanz ${\displaystyle {\underline {Y}}}$ (vom lateinischen admittere, zu Deutsch „annehmen“) ist ein Begriff aus der Elektrotechnik, gleichwertig mit komplexer Leitwert. Sie bezeichnet das Verhältnis von sinusförmigem Wechselstrom, der durch einen linearen Verbraucher (Bauelement, Leitung usw.) fließt, zur daran anliegenden Wechselspannung. In bestimmten Zusammenhängen wird der Begriff auch wesentlich weiter gefasst.

Bedeutung in der Wechselstromlehre

Für sinusförmige Vorgänge ist die mathematische Darstellung durch komplexwertige Größen von Vorteil. Diese werden hier in den Gleichungen durch einen Unterstrich gekennzeichnet, die imaginäre Einheit durch den Buchstaben ${\displaystyle \mathrm {j} }$.[1][2][3]

Die Admittanz ${\displaystyle {\underline {Y}}}$ ist der Kehrwert der Impedanz ${\displaystyle {\underline {Z}}}$:

${\displaystyle {\underline {Y}}={{\underline {Z}}^{-1}}={\frac {1}{\underline {Z}}}}$

Sie s​etzt sich zusammen a​us dem Realteil, d​er als Wirkleitwert o​der als Konduktanz bezeichnet wird:

${\displaystyle G=\operatorname {Re} \,{\underline {Y}}=\operatorname {Re} \,{\frac {1}{\underline {Z}}}}$

und a​us dem Imaginärteil, d​er als Blindleitwert o​der als Suszeptanz bezeichnet wird:

${\displaystyle B=\operatorname {Im} \,{\underline {Y}}=\operatorname {Im} \,{\frac {1}{\underline {Z}}}}$

Der Betrag der Admittanz wird als Scheinleitwert ${\displaystyle Y}$ bezeichnet. Alle diese Begriffe sind auch so genormt.[3][4]

${\displaystyle {\underline {Y}}=G+\mathrm {j} B}$

${\displaystyle Y=|\,{\underline {Y}}|={\sqrt {G^{2}+B^{2}}}}$

Mit der komplexwertigen Impedanz ${\displaystyle {\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X}$ aus Wirkwiderstand (Resistanz) ${\displaystyle R}$ und Blindwiderstand (Reaktanz) ${\displaystyle X}$ ergibt sich ${\displaystyle {\underline {Y}}}$ zu

${\displaystyle {\underline {Y}}={\frac {1}{R+\mathrm {j} X}}={\frac {R}{R^{2}+X^{2}}}-\mathrm {j} {\frac {X}{R^{2}+X^{2}}}}$

und somit

${\displaystyle G={\frac {R}{R^{2}+X^{2}}}\quad {\text{und}}\quad B={\frac {-X}{R^{2}+X^{2}}}}$

Daraus ist ersichtlich, dass der Wirkleitwert ${\displaystyle G}$ im Allgemeinen etwas anderes ist als der reziproke Wirkwiderstand ${\displaystyle 1/R}$ und der Blindleitwert ${\displaystyle B}$ etwas anderes als der reziproke Blindwiderstand ${\displaystyle 1/X}$. Der Begriff Konduktanz wird auch mit Leitwert übersetzt,[4] wenn es sich um einen ohmschen Verbraucher handelt. Da ${\displaystyle X}$ von der Frequenz der Wechselgrößen abhängig ist, sind auch ${\displaystyle Y,\ G{\text{ und }}B}$ von der Frequenz abhängig.

In Exponentialform kann man mit dem Phasenverschiebungswinkel ${\displaystyle \varphi _{ui}}$ zwischen Spannung und Stromstärke bzw. deren Nullphasenwinkeln ${\displaystyle \varphi _{u}}$ und ${\displaystyle \varphi _{i}}$ schreiben:

${\displaystyle {\underline {Z}}=Z\ \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi _{ui}}=Z\ \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\varphi _{u}-\varphi _{i})}}$

${\displaystyle {\underline {Y}}={\frac {1}{Z}}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \varphi _{ui}}=Y\ \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\varphi _{i}-\varphi _{u})}}$

und, wenn man die eulersche Formel ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {j} x}=\cos x+\mathrm {j} \sin x}$ anwendet,

${\displaystyle B=Y\sin(-\varphi _{ui})=Y\sin(\varphi _{i}-\varphi _{u})}$

${\displaystyle G=Y\cos \varphi _{ui}}$

Die Maßeinheit i​m SI-Einheitensystem für a​lle angegebenen Arten v​on Leitwerten i​st das Siemens m​it dem S a​ls Einheitenzeichen.[5]

Spezialfall

Für einen verlustlosen idealen Kondensator mit der Kapazität ${\displaystyle C}$ gelten bei sinusförmiger Wechselspannung mit der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ die Angaben zu den Widerständen

${\displaystyle {\underline {Z}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}\$ ;\quad R=0\ ;\quad X=-{\frac {1}{\omega C}}}

Damit gelten z​u den Leitwerten

${\displaystyle {\underline {Y}}=\mathrm {j} \omega C;\quad G=0\$ ;\quad B=-{\frac {1}{X}}=\omega C\ ;}

Isolationswiderstände und dielektrische Verluste des Kondensators erfasst man als Wirkleitwert mit ${\displaystyle G>0}$. In den meisten praktischen Fällen bleibt ${\displaystyle \omega C}$ mindestens hundertmal größer als ${\displaystyle G}$;[6] dann bleiben im Rahmen dieser Näherung ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle {\underline {Y}}}$ unverändert und ${\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}}$.

Erweiterte Bedeutung

In d​er Theorie d​er linearen elektrischen Netzwerke bezeichnet m​an auch e​in Verhältnis e​ines Stroms z​u einer Spannung a​ls Admittanz, w​enn sie n​icht am gleichen Bauelement gemessen werden. Typische Beispiele s​ind die Kurzschluss-Kernadmittanz u​nd die Übertragungsadmittanz i​n der Vierpoltheorie. Schließlich führt m​an dort a​uch die Admittanz-Matrix ein.[7]

Andererseits bezeichnet man auch das Verhältnis eines nichtsinusförmigen Stroms zu einer nichtsinusförmigen Spannung als Admittanz, wenn man Strom und Spannung mit Hilfe einer Operatorenrechnung, z. B. der Laplace-Transformation, im sogenannten Bildbereich darstellt und auf diese Weise deren Verhältnis als „Admittanz-Operator“ bildet. Eine solche Admittanz hat dann nicht die imaginäre Frequenz ${\displaystyle \mathrm {j} \omega }$ als Variable, sondern die komplexe Frequenz ${\displaystyle s}$. Die äußere Form einer solchen gebrochen rationalen Funktion bezeichnet man im Rahmen der Netzwerk-Synthese als Admittanz-Funktion.[8]

Literatur

• Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis und Albrecht Reibiger: Theoretische Elektrotechnik: Eine Einführung. 18. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-78589-7.
• Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2. 8. Auflage. Vieweg+Teubner, 2013, ISBN 978-3-8348-1031-1.

Einzelnachweise

1. DIN 1304-1, Formelzeichen, 1994
2. DIN 5483-3 Zeitabhängige Größen, Komplexe Darstellung sinusförmig zeitabhängiger Größen, 1994
3. DIN 40110-1, Wechselstromgrößen; Zweileiter-Stromkreise, 1994
4. IEC 60050-131, siehe DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch
5. EN ISO 80000-1, Größen und Einheiten − Teil 1: Allgemeines, 2013
6. Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elemente der angewandten Elektronik. Vieweg+Teubner, 16. Aufl. 2010, S. 42
7. Klaus Lunze: Theorie der Wechselstromschaltungen. 8. Auflage. Verlag Technik, Berlin 1991, ISBN 3-341-00984-1.
8. Gerhard Wunsch: Elemente der Netzwerksynthese. Verlag Technik, Berlin 1969, DNB 458706396.