Absolut konvergente Reihe

Eine absolute konvergente Reihe i​st ein Begriff a​us der Analysis. Es handelt s​ich um e​ine Verschärfung d​es Begriffs d​er konvergenten Reihe. Für d​ie absolut konvergenten Reihen bleiben manche Eigenschaften endlicher Summen gültig, d​ie für d​ie größere Menge d​er konvergenten Reihen i​m Allgemeinen falsch sind.

Definition

Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|<\infty }$

konvergiert.

Diese Definition w​ird auch a​uf normierte Räume verallgemeinert: Eine Reihe i​n einem normierten Raum heißt absolut konvergent, w​enn die Reihe d​er Normen konvergiert.

Beispiele

• Konvergente Reihen, deren Summanden fast alle nicht negativ sind, sind absolut konvergent.
• Die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}}$

ist wegen

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

absolut konvergent.

• Die Potenzreihe der Exponentialfunktion

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

ist für jedes komplexe ${\displaystyle z}$ absolut konvergent.

• Generell gilt, dass eine reelle oder komplexe Potenzreihe im Inneren ihres Konvergenzkreises absolut konvergent ist.
• Die alternierende harmonische Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}}$

ist konvergent gegen ${\displaystyle \ln(2)}$. Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn beim Nachprüfen der definierenden Eigenschaft erhält man

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$,

also die gewöhnliche harmonische Reihe. Diese ist bestimmt divergent gegen ${\displaystyle \infty }$.

Eigenschaften

Jede absolut konvergente Reihe ist (unbedingt) konvergent. Das gilt sowohl für reellwertige wie für komplexwertige Reihen. Allgemeiner: In endlich-dimensionalen Räumen ist unbedingt konvergent gleichbedeutend mit absolut konvergent.

Es g​ibt aber Reihen, d​ie konvergent, a​ber nicht absolut konvergent sind, s​ie gelten a​ls bedingt konvergent. In unendlich-dimensionalen Räumen g​ibt es s​ogar unbedingt konvergente Reihen, d​ie nicht absolut konvergieren.

Manche Konvergenzkriterien für Reihen, s​o das Wurzelkriterium u​nd das Quotientenkriterium, bedingen d​ie absolute Konvergenz.

Umordnungen

→ Hauptartikel: Umordnung von Reihen

Eine wesentliche Eigenschaft absolut konvergenter Reihen ist, dass man wie bei endlichen Summen die Summanden beliebig vertauschen kann: Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe ${\displaystyle s}$, d. h. jede Reihe, die durch Umordnung der Reihenglieder von ${\displaystyle s}$ entsteht, ist konvergent und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert wie ${\displaystyle s}$. Dies ist genau umgekehrt zu konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihen ${\displaystyle t}$: Dort existiert stets eine Umordnung von ${\displaystyle t}$, die divergiert.

Ist die Reihe ${\displaystyle t}$ reellwertig, so gilt die folgende, noch schärfere Aussage (Riemannscher Umordnungssatz): Zu jeder vorgegebenen Zahl ${\displaystyle S\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ existiert eine Umordnung der Reihe ${\displaystyle t}$, die gegen ${\displaystyle S}$ (uneigentlich) konvergiert. Die Begründung ist leicht anzugeben, wir beschränken uns auf den Fall ${\displaystyle S\neq \pm \infty }$. Man ordnet die Summanden in zwei Folgen

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \dotsb \geq a_{n}\geq \dotsb >0>\dotsb \geq b_{n}\geq \dotsb \geq b_{2}\geq b_{1}}$

an (Summanden, die gleich null sind, werden weggelassen). Nun addiert man so lange Folgenglieder aus ${\displaystyle (a_{n})}$, bis ${\displaystyle S}$ überschritten wird, dann (negative) Folgenglieder aus ${\displaystyle (b_{n})}$, bis ${\displaystyle S}$ wieder unterschritten wird, dann wieder aus ${\displaystyle (a_{n})}$ usw. Das Verfahren ist durchführbar, weil ${\displaystyle \sum a_{n}}$ und ${\displaystyle \sum b_{n}}$ divergieren (ansonsten wäre die ursprüngliche Reihe absolut konvergent), und die umgeordnete Reihe konvergiert gegen ${\displaystyle S}$.

Verallgemeinerungen

Der Begriff der absoluten Konvergenz lässt sich auf normierte Räume verallgemeinern. Gegeben sei eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Elementen eines normierten Raumes ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$. Die entsprechende Reihe ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ wird durch

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{\nu =1}^{n}x_{\nu }}$

definiert. Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn ${\displaystyle \textstyle \sum _{\nu =1}^{\infty }\|x_{\nu }\|}$ konvergiert.

Ist ${\displaystyle X}$ ein Banachraum, also vollständig, so ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent. Tatsächlich gilt hiervon auch die Umkehrung: Ist ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ein normierter Vektorraum und jede absolut konvergente Reihe konvergent, so ist ${\displaystyle X}$ vollständig, also ein Banachraum.

In beliebigen vollständigen metrischen Räumen gilt ein verwandtes Resultat. Eine Folge ${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ist zumindest dann konvergent, wenn die Summe

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{\infty }d\left(s_{\nu -1},s_{\nu }\right)}$

konvergiert. Da in obigem Beispiel ja ${\displaystyle d\left(s_{\nu -1},s_{\nu }\right)=\|x_{\nu }\|}$, ergibt sich die absolute Konvergenz daraus als Spezialfall.

Literatur

• Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis. Dover, New York 1970. ISBN 0-486-64062-0.
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3.