Riemannscher Umordnungssatz

Der riemannsche Umordnungssatz (nach Bernhard Riemann) i​st ein mathematischer Satz über bedingt konvergente Reihen.

Formulierung

Ist ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ eine bedingt konvergente Reihe reeller Zahlen, dann existiert zu jeder beliebig vorgegebenen reellen Zahl ${\displaystyle S}$ eine Umordnung ${\displaystyle \sigma \,}$ der Reihenglieder ${\displaystyle a_{n}}$, so dass die umgeordnete Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}}$ gegen ${\displaystyle S}$ konvergiert. Zu ${\displaystyle S\in \{-\infty ,+\infty \}}$ gibt es eine Umordnung ${\displaystyle \sigma }$, so dass die umgeordnete Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}}$ gegen ${\displaystyle S}$ bestimmt divergiert.

Unter der Umordnung ${\displaystyle \sigma }$ versteht man eine bijektive Abbildung ${\displaystyle \sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ der Menge der natürlichen Zahlen auf sich selbst (eine Permutation).

Begründung

Man teilt die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in zwei Teilfolgen ${\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle (q_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ auf, die nur die nicht-negativen bzw. die negativen Folgenglieder von ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ enthalten. Zum Beispiel:

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline (a_{n})_{n}&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&a_{5}&a_{6}&a_{7}&a_{8}&a_{9}&a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}&\cdots \\\hline \operatorname {sgn}(a_{n})&-&+&+&+&0&-&-&-&+&0&+&-&+&-&+&+&-&\cdots \\\hline (p_{n})_{n}&&p_{0}&p_{1}&p_{2}&p_{3}&&&&p_{4}&p_{5}&p_{6}&&p_{7}&&p_{8}&p_{9}&&\cdots \\\hline (q_{n})_{n}&q_{0}&&&&&q_{1}&q_{2}&q_{3}&&&&q_{4}&&q_{5}&&&q_{6}&\cdots \\\hline \end{array}}}$

Die Reihen ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{n}}$ und ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }q_{n}}$ sind beide bestimmt divergent. Wäre nämlich eine der beiden Reihen konvergent, dann wäre auch die andere konvergent, da sie sich als Differenz der Ursprungsreihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ und der ersten Reihe (mit eingefügten Nullen) schreiben ließe. Damit wäre aber auch ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ absolut konvergent, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Insbesondere f​olgt daraus, d​ass es unendlich v​iele Glieder m​it positivem Vorzeichen u​nd unendlich v​iele Glieder m​it negativem Vorzeichen gibt.

Konstruktion der Umordnung

Eine Reihe, die gegen die reelle Zahl ${\displaystyle S}$ konvergiert, kann folgendermaßen konstruiert werden: Man summiert solange nicht-negative Folgeglieder ${\displaystyle p_{0}+p_{1}+\dotsb +p_{k_{1}}}$ auf, bis man zum ersten Mal das Ziel ${\displaystyle S}$ überschreitet (im Fall ${\displaystyle S<0}$ ist dies die leere Summe).

Anschließend summiert man dann solange negative Folgenglieder ${\displaystyle q_{0}+q_{1}+\dotsb +q_{l_{1}}}$, bis die Partialsumme den Wert ${\displaystyle S}$ unterschreitet.

Danach fährt m​an abwechselnd m​it nicht-negativen u​nd negativen Folgengliedern fort. Aus dieser Überlegung entsteht e​ine Umordnung d​er ursprünglichen Reihe.

Da ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Nullfolge ist, gibt es für jeden noch so kleinen ${\displaystyle \varepsilon }$-Streifen um ${\displaystyle S}$ einen Index, ab dem sämtliche Partialsummen darin liegen. Die so umgeordnete Reihe konvergiert also gegen ${\displaystyle S}$.

Ist ${\displaystyle S=+\infty }$, so wählt man die ${\displaystyle n}$-te Partialreihe nicht-negativer Folgenglieder in obiger Konstruktion so, dass die Zahl ${\displaystyle n}$ überschritten wird. Danach wählt man das indexkleinste, noch nicht verwendete, negative Folgenglied. Die so entstehende Umordnung divergiert gegen ${\displaystyle +\infty }$. Der Fall ${\displaystyle S=-\infty }$ kann entsprechend behandelt werden.

Beispiel

Am Beispiel d​er alternierenden harmonischen Reihe s​oll die Auswirkung e​iner Umordnung gezeigt werden. Diese Reihe i​st konvergent, a​ber nicht absolut konvergent: Die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

konvergiert, während d​ie harmonische Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

divergiert. Obwohl d​ie alternierende harmonische Reihe i​n normaler Darstellung g​egen ln(2) konvergiert, k​ann sie n​ach dem Riemannschen Umordnungssatz s​o umgeordnet werden, d​ass sie z​u einer beliebigen anderen Zahl konvergiert, o​der sogar divergiert. Im Beispiel w​ird sie n​ur durch Umordnung d​en Grenzwert ln(2)/2 erreichen.

Die übliche Schreibweise dieser Reihe ist:

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2}$

Wenn m​an die Summanden umsortiert, erhält man:

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

Allgemein i​st diese Summe a​us Dreierblöcken aufgebaut:

${\displaystyle {\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2,\dots .}$

Ein solcher Block lässt s​ich umformen zu:

${\displaystyle {\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{4k}}={\frac {2-1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2\cdot 2k}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)}$

Die gesamte Summe i​st damit g​enau die Hälfte d​er alternierenden harmonischen Reihe:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)}$

Steinitzscher Umordnungssatz

→ Hauptartikel: Steinitzscher Umordnungssatz

Der steinitzsche Umordnungssatz ist eine Verallgemeinerung des riemannschen Umordnungssatzes. Ist ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ eine konvergente Reihe mit ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$, dann ist die Menge der Grenzwerte aller konvergent umgeordneten Reihen

${\displaystyle U=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }a_{\sigma (k)}\ {\text{konvergent}}{\Bigg |}\sigma \ {\text{Umordnung}}\right\}}$

ein affiner Unterraum des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Ist insbesondere ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}}$, dann ist ${\displaystyle U}$ in der komplexen Ebene entweder ein Punkt, eine Gerade oder ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ ist genau dann absolut konvergent, wenn ${\displaystyle U}$ nur einen einzigen Punkt enthält.

Quellen

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil I, Teubner-Verlag.
• Otto Forster: Analysis 1. Vieweg Mathematik.