Abelsche Lie-Gruppe

Abelsche Lie-Gruppen s​ind ein Begriff a​us der mathematischen Theorie d​er Lie-Gruppen u​nd Lie-Algebren.

Definition

Eine Lie-Gruppe heißt abelsch, w​enn ihre Gruppenmultiplikation kommutativ ist.

Für zusammenhängende Lie-Gruppen i​st dies äquivalent dazu, d​ass die Lie-Algebra d​er Lie-Gruppe e​ine abelsche Lie-Algebra, a​lso die Lie-Klammer identisch n​ull ist.

Eigenschaften

Für eine abelsche Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ und ihre Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist die Exponentialabbildung ${\displaystyle exp\colon {\mathfrak {g}}\to G}$ ein Homomorphismus, es gilt also

${\displaystyle exp(X+Y)=exp(X)exp(Y)}$

für alle ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Multiplikationsabbildung ${\displaystyle m\colon G\times G\to G}$ das Differential ${\displaystyle (X,Y)\to X+Y}$ hat und für abelsche Gruppen (und nur diese) ${\displaystyle m}$ ein Homomorphismus ist, sowie aus ${\displaystyle exp(Dm(X,Y))=m(exp(X),exp(Y))}$.

Weiterhin i​st für abelsche Gruppen d​ie Exponentialabbildung surjektiv u​nd hat e​inen diskreten Kern.

Beispiele

Die Kreisgruppe ${\displaystyle S^{1}}$ ist eine abelsche Lie-Gruppe. Sie ist isomorph zur speziellen orthogonalen Gruppe ${\displaystyle SO(2)}$ und zur unitären Gruppe ${\displaystyle U(1)}$.

Ebenso ist der Torus ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=S^{1}\times S^{1}}$ eine abelsche Lie-Gruppe.

Klassifikation

Jede kompakte, zusammenhängende, abelsche Lie-Gruppe ist ein ${\displaystyle n}$-Torus ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{n\ {\text{mal}}}}$ für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Jede zusammenhängende, abelsche Lie-Gruppe ist isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {T} ^{n}}$ für natürliche Zahlen ${\displaystyle k,n}$.

Jede abelsche Lie-Gruppe ist isomorph zu ${\displaystyle F\times \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {T} ^{n}}$ für eine endliche abelsche Gruppe ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle k,n\in \mathbb {N} }$.